第二十二章 二次函数
本章总共分三个模块的内容．模块一：二次函数的概念、图象和性质；模块二：二次函数与一元二次方程的联系；模块三：利用二次函数的图象和性质解决实际问题．
本章我们可以类比求正比例函数、一次函数的解析式的方法，即待定系数法来求二次函数的解析式．并根据描点法画出几个特殊函数的图象来分析、观察、研究二次函数的性质．构建二次函数模型来解决实际问题也是本章的一个重点．在中考中，二次函数是热点考查内容之一，主要考查二次函数的图象与性质及结合其他知识进行综合性考查．
【本章重点】
1. 二次函数的图象和性质．
2．利用二次函数的图象和性质解决实际问题． 【本章难点】
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1．利用二次函数的图象和性质解决实际问题． 2．二次函数与其他知识的综合应用． 【本章思想方法】
1．体会和掌握类比的学习方法：类比一次函数来学习二次函数，注意与一次函数、一元二次方程、不等式的联系与相互转化．
2．体会数形结合的思想方法：由于二次函数(数)的图象是抛物线(形)，故二次函数与抛物线有内在联系，二次函数的性质由函数反映出来．反之，抛物线体现二次函数的性质，能直观、形象地反映问题．
3．体会数学模型思想：本章函数建模就是通过探索实际应用问题中的数量关系和变化规律，从中抽象二次函数模型，并运用二次函数的知识解决实际问题．
22.1 二次函数的图象和性质 22.2 二次函数与一元二次方程 22.3 实际问题与二次函数
7课时 1课时 1课时
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22.1 二次函数的图象和性质 22.1.1 二次函数(第1课时)
一、基本目标 【知识与技能】
1．理解并掌握二次函数的概念，能判断一个给定的函数是否为二次函数． 2．根据实际问题中的条件确定二次函数的解析式，体会函数的模型思想． 【过程与方法】
经历与一次函数类比学习的过程，学会与人合作，并获得代数学习的一些常用方法：类比法、合情推理、抽象概括等．
【情感态度与价值观】
通过对几个特殊的二次函数的讲解，体验数学中的探索精神，初步体会二次函数的数学模型．
二、重难点目标 【教学重点】 二次函数的概念． 【教学难点】
能根据已知条件写出二次函数的解析式．
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环节1 自学提纲，生成问题 【5 min阅读】
阅读教材P28～P29的内容，完成下面练习． 【3 min反馈】
1．正比例的函数的表达式为y＝kx(k为常数，且k≠0)；一次函数的表达式为__y＝ax＋b__(a、b为常数，且a≠0)．
2．二次函数的概念：一般地，形如__y＝ax2＋bx＋c__(a、b、c是常数，且a≠0)的函数叫做二次函数，其中二次项系数、一次项系数和常数项分别为__a、b、c__.
3．下列函数中，是二次函数的有__①②③__. 1
①y＝(x－3)2－1；②y＝1－2x2；③y＝(x＋2)(x－2)；④y＝(x－1)2－x2.
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4．二次函数y＝－x2＋2x中，二次项系数是__－1__，一次项系数是___2____，常数项是___0____.
5．半径为R的圆，半径增加x，圆的面积增加y，则y与x之间的函数关系式为__y＝πx2
＋2πRx(x≥0)__.
环节2 合作探究，解决问题 【活动1】 小组讨论(师生互学)
【例1】已知关于x的函数y＝(m＋1)xm2－m是二次函数， 求m的值．
【互动探索】(引发学生思考)已知含参函数的解析式为二次函数，那么二次函数的自变量及各项系数应该满足哪些条件？
2??m－m＝2，【解答】 由题意，得?
?m＋1≠0，?
解得m＝2.
【互动总结】(学生总结，老师点评)y＝ax2＋bx＋c为二次函数的前提条件是a≠0，且
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自变量x的最高次数为2，注意不要忽略二次项系数不为0这一隐含条件．
【例2】某超市购进一种单价为40元的篮球，如果以单价50元出售，那么每月可售出500个，根据销售经验，售价每提高1元，销售量相应减少10个．如果超市将篮球售价定为x元(x>50)，每月销售这种篮球获利y元，求y与x之间的函数关系式．
【互动探索】(引发学生思考)解决实际应用问题的一般步骤是什么？本题中所隐含的等量关系是什么？
【解答】根据题意，得每个篮球的利润为50＋x－40＝10＋x；篮球的销售量为500－10x. 则y＝(10＋x)(500－10x)＝－10x2＋400x＋5000.
【互动总结】(学生总结，老师点评)根据实际问题写出二次函数的解析式的一般步骤：(1)阅读并理解题意；(2)找出问题的变量与常量，并分析它们之间的关系，若有图形，则要注意结合图形进行分析；(3)设适当的未知数，用二次函数表示出变量之间的关系，建立二次函数模型，写出二次函数解析式．
【活动2】 巩固练习(学生独学)
1．如图，用长为10米的篱笆，一面靠墙(墙的长度超过10米)，围成一个矩形花圃，设矩形垂直于墙的一边长为x米，花圃面积为S平方米，则S关于x的函数解析式是__S＝－2x2＋10x__.(不写定义域)
2．如果函数y＝(k＋1)xk2＋1＋1是y关于x的二次函数，则k的值为多少？
??k＋1≠0，解：根据题意，得?2
?k＋1＝2.?
解得k＝1.
【活动3】 拓展延伸(学生对学)
【例3】已知关于x的二次函数，当x＝－1时，函数值为10，当x＝1时，函数值为4，当x＝2时，函数值为7，求这个二次函数的解析式．
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