湖南省长沙市长郡中学2018届高三第四次月考数学（理）试题（含答案）

?2?k?x1?1????3?x2????2?k?x2?1????3?x1??12?2?x1?x2??k??2x1x2?4?x1?x2??6?? ??9?3?x1?x2??x1x29?3?x1?x2??x1x2?3k2?3?6k212?2?x1?x2??k?2?2?4?2?6?2122k?1??3k?13k?1????2. ?2226k3k?36?2k?1?9?3?2?23k?13k?1综上得k1?k2为常数2. 21．解：（1）因为f??x??1?2a，x?0， x因为函数y?f?x?存在与直线2x?y?0垂直的切线， 所以f??x???即

1在?0,???上有解， 211?2a??在?0,???上有解， x22也即x?在?0,???上有解，

4a?121所以?0，得a?，

4a?14故所求实数a的取值范围是??1?,???. ?4?（2）证明：因为g?x??f?x??1212x?x?lnx?2ax， 22x2?2ax?1因为g??x??，

x①当?1?a?1时，g?x?单调递增无极值点，不符合题意，

②当a?1或a??1时，令g??x??0，设x?2ax?1?0的两根为x1和x2，

2因为x1为函数g?x?的极大值点，所以0?x1?x2， 又x1x2?1，x1?x2?2a?0，所以a?1，0?x1?1，

1x12?1?0，则a?所以g??x1??x1?2a?， x12x1要证明

lnx11?2?a，只需要证明x1lnx1?1?ax12， x1x121x12?x1x121?1???x1?x1lnx1?1，0?x1?1. 因为x1lnx1?1?ax?x1lnx1?222

131x?x?xlnx?1，x??0,1?， 22321321所以h??x???x??lnx，记P?x???x??lnx，x??0,1?，

2222令h?x???11?3x2则P??x???3x??，

xx当0?x?33?x?1时，P??x??0， 时，P??x??0，当33所以P?x?max?P??3?3?ln?0，所以h??x??0. ??3?3??所以h?x?在?0,1?上单调递减， 所以h?x??h?1??0，原题得证.

??x?3??22．解：（1）由直线l的参数方程为??y?4???得直线l的普通方程为x?y?7?0.

2t2（为参数），

t2t2又由??6sin?得圆C的直角坐标方程为x??y?3??9.

22??x?4??（2）把直线l的参数方程??y?3???得t?42t?7?0，

设t1,t2是上述方程的两实数根， 所以t1?t2?42，t1t2?7， ∴t1?0,t2?0， 所以

22t2（为参数），代入圆的直角坐标方程，

Ct2t21142??. PAPB7

???3x,x??1,?1?23．解：（1）f?x???2?x,?1?x?,

2?1?3x,x?.??2根据函数f?x?的单调性可知，当x?1?1?3时，f?x?min?f???. 2?2?2所以函数f?x?的值域M??,???.

?2?（2）因为a?M，所以a??3?33，所以0??1. 22a又a?1?a?1?a?1?a?1?2a?3， 由a?3，知a?1?0，4a?3?0， 22aa?1??4a?3???0，所以所以

所以a?1?a?1?37??2a. 2a237??2a. 2a2