学业分层测评 第1章 1.4 绝对值的三角不等式

学业分层测评

(建议用时：45分钟)

[学业达标]

一、选择题

1.若a，b∈R，则以下命题正确的是( ) A.|a|－|b|≤|a＋b|≤|a|＋|b| B.|a|－|b|<|a－b|<|a|＋|b|

C.当且仅当ab>0时，|a＋b|＝|a|＋|b| D.当且仅当ab≤0时，|a－b|＝|a|－|b|

【解析】 由定理“两个数的和的绝对值小于或等于它们绝对值的和，大于或等于它们绝对值的差”可知选项A正确；在选项A中，以－b代b，可得|a|－|b|≤|a－b|≤|a|＋|b|，所以选项B不正确；当且仅当a，b同号或a，b中至少有一个为零，即ab≥0时，|a＋b|＝|a|＋|b|，所以选项C不正确；当ab<0，|a－b|>|a|－|b|，所以选项D不正确.

【答案】 A

2.已知a，b∈R，ab>0，则下列不等式中不正确的是( ) ．．．A.|a＋b|＞a－b C.|a＋b|<|a|＋|b|

B.2ab≤|a＋b| ?ba?D.?a＋b?≥2 ??

【解析】 当ab>0时，|a＋b|＝|a|＋|b|，C错. 【答案】 C 3.以下四个命题：

①若a，b∈R，则|a＋b|－2|a|≤|a－b|； ②若|a－b|＜1，则|a|＜|b|＋1； ?x?2

③若|x|＜2，|y|＞3，则?y?＜3；

??④若AB≠0，则lg

|A|＋|B|1

2≥2(lg|A|＋|lg|B|).

其中正确的命题有( ) A.4个

B.3个

1

C.2个 D.1个

【解析】 |a＋b|＝|(b－a)＋2a|≤|b－a|＋2|a| ＝|a－b|＋2|a|，∴|a＋b|－2|a|≤|a－b|，①正确； 1＞|a－b|≥|a|－|b|，∴|a|＜|b|＋1，②正确； 11

|y|＞3，∴|y|＜3.

|x|2

又∵|x|＜2，∴|y|＜3，③正确； ?|A|＋|B|?212??＝(|A|＋|B|2＋2|A||B|) ?2?4

1

≥4(2|A||B|＋2|A||B|)＝|A||B|， |A|＋|B|

∴2lg2≥lg|A||B|，

|A|＋|B|1

∴lg2≥2(lg|A|＋lg|B|)，④正确. 【答案】 A

4.已知f(x)＝|2x－a|＋a.若不等式f(x)≤6的解集为{x|－2≤x≤3}，则实数a的值为( )

A.1 C.－4

B.2 D.－1

【解析】 因为不等式f(x)≤6的解集为{x|－2≤x≤3}，即－2,3是方程f(x)＝6的两个根，即|6－a|＋a＝6，|a＋4|＋a＝6，所以|6－a|＝6－a，|a＋4|＝6－a，即|6－a|＝|a＋4|，解得a＝1.

【答案】 A 5.不等式A.ab≠0 C.ab≥0

|a＋b|

≤1成立的条件是( ) |a|＋|b|

B.a2＋b2≠0 D.ab≤0

|a＋b|

【解析】 ∵|a＋b|≤|a|＋|b|，当|a|＋|b|≠0时，≤1(*).因此(*)成立的

|a|＋|b|条件是a≠0且b≠0，即a2＋b2≠0.

【答案】 B

2

二、填空题

6.若不等式|x＋1|＋|x－2|≥a对任意x∈R恒成立，则a的取值范围是________.

【导学号：38000015】

【解析】 ∵|x＋1|＋|x－2|＝|x＋1|＋|2－x|≥|x＋1＋2－x|＝3， ∴3≥a.

【答案】 (－∞，3]

7.|x＋1|＋|2－x|的最小值是________.

【解析】 ∵|x＋1|＋|2－x|≥|(x＋1)＋(2－x)|＝3， 当且仅当(x＋1)(2－x)≥0，即－1≤x≤2时，取等号. 因此|x＋1|＋|2－x|的最小值为3. 【答案】 3

1

8.若不等式|2x－1|＋|x＋2|≥a2＋2a＋2对任意实数x恒成立，则实数a的取值范围是________.

?1???1????1??

【解析】 |2x－1|＋|x＋2|＝?x－2?＋??x－2?＋|x＋2|?≥0＋??x－2?－?x＋2??

??????????515

＝2，当且仅当x＝2时取等号，因此函数y＝|2x－1|＋|x＋2|的最小值是2.所以a21?151?

＋2a＋2≤2，即2a2＋a－1≤0，解得－1≤a≤2，即实数a的取值范围是?－1，2?.

??

1??

【答案】 ?－1，2?

??三、解答题

9.已知函数f(x)＝|x－1|＋|x－a|. (1)若a＝－1，解不等式f(x)≥3； (2)如果?x∈R，f(x)≥2，求a的取值范围. 【解】 (1)当a＝－1时，f(x)＝|x－1|＋|x＋1|. 由f(x)≥3得|x－1|＋|x＋1|≥3.

当x≤－1时，不等式可化为1－x－x－1≥3，即－2x≥3，其解集为3??

?－∞，－2?. ??

3

当－1＜x＜1时，不等式化为1－x＋x＋1≥3，不可能成立，其解集为?； ?3?

当x≥1时，不等式化为x－1＋x＋1≥3，即2x≥3，其解集为?，＋∞?.

?2综上所述，f(x)≥3的解集为???－∞，－32???3?

?∪??2，＋∞??.

(2)∵f(x)＝|x－1|＋|x－a|≥|a－1|， ∴要?x∈R，f(x)≥2成立，

则|a－1|≥2，∴a≤－1或a≥3，即a的取值范围是(－∞，－1]∪[3，＋10.已知|x1－2|＜1，|x2－2|＜1. (1)求证：2＜x1＋x2＜6，|x1－x2|＜2.

(2)若f(x)＝x2－x＋1，x1≠x2，求证：|x1－x2|＜ |f(x1)－f(x2)|＜5|x1－x2|.

【证明】 (1)∵|x1－2|＜1，|x2－2|＜1， ∴2－1＜x1＜2＋1,2－1＜x2＜2＋1， 即1＜x1＜3,1＜x2＜3，∴2＜x1＋x2＜6， |x1－x2|＝|(x1－2)－(x2－2)| ≤|x1－2|＋|x2－2|＜1＋1＝2， 即|x1－x2|＜2. (2)∵f(x)＝x2－x＋1，

∴|f(x1)－f(x2)|＝|x21－x1－x2

2＋x2|

＝|(x1－x2)(x1＋x2－1)|＝|x1－x2||x1＋x2－1|. 由(1)知2＜x1＋x2＜6，|x1－x2|＞0， ∴|x1－x2|＜|x1－x2||x1＋x2－1|＜5|x1－x2|， 即|x1－x2|＜|f(x1)－f(x2)|＜5|x1－x2|.

[能力提升]

1.“|x－a|＜m且|y－a|＜m”是“|x－y|＜2m”(x，y，a，m∈R)的( A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件

D.既不充分也不必要条件

【解析】 ∵|x－a|＜m，|y－a|＜m， ∴|x－a|＋|y－a|＜2m.

又∵|(x－a)－(y－a)|≤|x－a|＋|y－a|，

4

?∞). )