A级
1．在等腰三角形MON中，MO＝MN，点O(0,0)，M(－1,3)，点N在x轴的负半轴上，则直线MN的方程为( )
A．3x－y－6＝0 C．3x－y＋6＝0
B．3x＋y＋6＝0 D．3x＋y－6＝0
解析： 因为MO＝MN，所以直线MN的斜率与直线MO的斜率互为相反数，所以kMN
＝－kMO＝3，所以直线MN的方程为y－3＝3(x＋1)，即3x－y＋6＝0，选C.
答案： C
2．已知三点A(1,0)，B(0，3)，C(2，3)，则△ABC外接圆的圆心到原点的距离为( ) 5A. 325C. 3
B．
21 3
4D．
3
解析： 设圆的一般方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，
?
∴?3＋3E＋F＝0，
?7＋2D＋3E＋F＝0，
1＋D＋F＝0，
D＝－2，??43∴?E＝－，
3
??F＝1，
23?∴△ABC外接圆的圆心为?1，，故△ABC外接圆的圆心到原点的距离为
3??2123?2
1＋?＝.
3?3?答案： B
3．过点P(－2,2)作直线l，使直线l与两坐标轴在第二象限内围成的三角形面积为8，这样的直线l一共有( )
A．3条 C．1条
B．2条 D．0条
－22
＋＝1，?abxy
解析： 由题意可知直线l方程为＋＝1(a<0，b>0)，于是?ab1
b＝8，?2?－a?·＝b＝4，故满足条件的直线l一共有1条，故选C.
答案： C
解得－a
4．在平面直角坐标系内，过定点P的直线l：ax＋y－1＝0与过定点Q的直线m：x－
ay＋3＝0相交于点M，则|MP|2＋|MQ|2＝( )
A.
10 2
B．10 D．10
C．5
解析： 由题意知P(0,1)，Q(－3,0)，∵过定点P的直线ax＋y－1＝0与过定点Q的直线x－ay＋3＝0垂直，∴MP⊥MQ，∴|MP|2＋|MQ|2＝|PQ|2＝9＋1＝10，故选D.
答案： D
5．已知抛物线C1：x2＝2y的焦点为F，以F为圆心的圆C2交C1于A，B，交C1的准线于C，D，若四边形ABCD为矩形，则圆C2的方程为( )
1
y－?2＝3 A．x2＋??2?C．x2＋(y－1)2＝12
解析： 如图，连接AC，BD，
1
y－?2＝4 B．x2＋??2?D．x2＋(y－1)2＝16
1
0，?， 由抛物线的定义与性质可知圆心坐标为F??2?而|FA|＝|AD|＝|FB|为圆的半径r， 于是A?
311?
，
?2r，2＋2r?
3?2?11?＝2?2＋2r?， ?2r?
而A在抛物线上，故?∴r＝2，故选B. 答案： B
6．已知点A(－1,0)，过点A可作圆x2＋y2－mx＋1＝0的两条切线，则m的取值范围是________．
m
x－?2＋y2解析： 由题意得点A(－1,0)在圆外，所以1＋m＋1>0，所以m>－2，又??2?m2m2
＝－1表示圆，所以－1>0?m>2或m<－2，所以m>2. 44
答案： (2，＋∞)
7．(2017·惠州市第三次调研考试)已知直线y＝ax与圆C：x2＋y2－2ax－2y＋2＝0交于两点A，B，且△CAB为等边三角形，则圆C的面积为________．
解析： x2＋y2－2ax－2y＋2＝0?(x－a)2＋(y－1)2＝a2－1，因此圆心C到直线y＝ax
|a2－1|32
的距离为a－1＝2，所以a2＝7，圆C的面积为π(a2－1)2＝6π.
2a＋1
答案： 6π
8．已知圆O：x2＋y2＝1，直线x－2y＋5＝0上动点P，过点P作圆O的一条切线，切点为A，则|PA|的最小值为________．
解析： 过O作OP垂直于直线x－2y＋5＝0，过P作圆O的切线PA，连接OA，易知此时|PA|的值最小．由点到直线的距离公式，得|OP|＝又|OA|＝1，所以|PA|min＝|OP|2－|OA|2＝2. 答案： 2
9．已知两直线l1：ax－by＋4＝0，l2：(a－1)x＋y＋b＝0.求分别满足下列条件的a，b的值．
(1)直线l1过点(－3，－1)，并且直线l1与l2垂直；
(2)直线l1与直线l2平行，并且坐标原点到l1，l2的距离相等． 解析： (1)∵l1⊥l2，
∴a(a－1)＋(－b)·1＝0，即a2－a－b＝0.① 又点(－3，－1)在l1上， ∴－3a＋b＋4＝0.② 由①②得，a＝2，b＝2.
(2)由题意知当a＝0或b＝0时不成立． aa∵l1∥l2，∴＝1－a，∴b＝，
b1－a故l1和l2的方程可分别表示为
4?a－1?a
(a－1)x＋y＋＝0，(a－1)x＋y＋＝0，
a1－a又原点到l1与l2的距离相等， ∴4?
a－1??a??a?＝?1－a?，
|1×0－2×0＋5|
＝5.
12＋22
2
∴a＝2或a＝，
3
2
∴a＝2，b＝－2或a＝，b＝2.
3
10．已知圆C过点P(1,1)，且与圆M：(x＋2)2＋(y＋2)2＝r2(r>0)关于直线x＋y＋2＝0对称．
(1)求圆C的方程；
→→
(2)设Q为圆C上的一个动点，求PQ·MQ的最小值．
a－2b－2??2＋2＋2＝0，
解析： (1)设圆心C(a，b)，则?b＋2
??a＋2＝1，
??a＝0，
解得?
?b＝0.?
则圆C的方程为x2＋y2＝r2， 将点P的坐标代入得r2＝2， 故圆C的方程为x2＋y2＝2. (2)设Q(x，y)，则x2＋y2＝2，
→→且PQ·MQ＝(x－1，y－1)·(x＋2，y＋2)＝x2＋y2＋x＋y－4＝x＋y－2， 令x＝2cos θ，y＝2sin θ，
→→则PQ·MQ＝x＋y－2＝2(sin θ＋cos θ)－2 π
θ＋?－2. ＝2sin??4?→→
所以PQ·MQ的最小值为－4.
B级
1．(2017·湖南省五市十校联考)已知函数f(x)＝x＋sin x(x∈R)，且f(y2－2y＋3)＋f(x2－4x＋1)≤0，则当y≥1时，
13?A.??4，4? C．[1,32－3]
y
的取值范围是( ) x＋1
1?B．??4，1? 1
，＋∞? D．??3?
解析： 函数f(x)＝x＋sin x(x∈R)为奇函数，又f′(x)＝1＋cos x≥0，所以函数f(x)在实数范围内单调递增，则f(x2－4x＋1)≤f(－y2＋2y－3)，即(x－2)2＋(y－1)2≤1，当y≥1时yy
表示的区域为半圆及其内部，令k＝＝，其几何意义为过点(－1,0)与半圆相交
x＋1x－?－1?或相切的直线的斜率，斜率最小时直线过点(3,1)，此时kmin＝
11
＝，斜率最大时直线
3－?－1?4
|2k－1＋k|3
刚好与半圆相切，圆心到直线的距离d＝＝1(k>0)，解得kmax＝，故选A. 4k2＋1
答案： A
2．已知圆C：(x－1)2＋(y－2)2＝2，若等边△PAB的一边AB为圆C的一条弦，则|PC|的最大值为________．
解析： 已知圆C：(x－1)2＋(y－2)2＝2，所以圆心为C(1,2)，半径r＝2，若等边△PAB
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