同理可证△PMF≌△PNE，
∴b=OF=OM+MF=1+t，a=OE=ON﹣NE=1﹣t， ∴b+a=1+t+1﹣t=2， ∴b=2﹣a．
综上所述，当t＞1时，b=2+a；当0＜t≤1时，b=2﹣a；
（3）存在；
①如图3，当0＜t＜1时，
∵F（1+t，0），F和F′关于点M对称，M的坐标为（1，0），∴F′（1﹣t，0）
∵经过M、E和F′三点的抛物线的对称轴交x轴于点Q， ∴Q（1﹣t，0） ∴OQ=1﹣t，
由（1）得△PMF≌△PNE ∴NE=MF=t， ∴OE=1﹣t， 当△OEQ∽△MPF
29
∴=
∴=，此时无解，
当△OEQ∽△MFP时， ∴
=
，
=， 解得，t=2﹣
或t=2+
（舍去）；
②如图4，当1＜t＜2时，
∵F（1+t，0），F和F′关于点M对称，M的坐标为（1，0），∴F′（1﹣t，0）
∵经过M、E和F′三点的抛物线的对称轴交x轴于点Q， ∴Q（1﹣t，0） ∴OQ=1﹣t，
由（1）得△PMF≌△PNE ∴NE=MF=t， ∴OE=t﹣1 当△OEQ∽△MPF ∴
=
∴=，
解得，t=，
30
当△OEQ∽△MFP时， ∴
=
，
=， 解得，t=
，
③如图5，当t＞2时，
∵F（1+t，0），F和F′关于点M对称， ∴F′（1﹣t，0）
∵经过M、E和F′三点的抛物线的对称轴交x轴于点Q，∴Q（1﹣t，0） ∴OQ=t﹣1，
由（1）得△PMF≌△PNE ∴NE=MF=t， ∴OE=t﹣1 当△OEQ∽△MPF ∴
=
∴=，
无解，
31
当△OEQ∽△MFP时， ∴
=
，
=解得，t=2+
， ，t=2﹣或
（舍去） 或
或t=2+
时，使得以点Q、O、E为顶点的三角形与以点P、M、F
所以当t=2﹣
为顶点的三角形相似．
【点评】本题主要考查了圆的综合题，解题的关键是把圆的知识与全等三角形与相似三角形相结合找出线段关系．
32
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