三角形“心”的向量关系

三角形 “心”的向量关系

我们都知道，在三角形中，因为有三边和三角，故有很多的心。其中作为学生应掌握的四个心：重心，内心，外心，垂心。不仅要理解其定义、性质，还需了解和分析其向量的表示形式。由于向量是一种研究几何图形的另一种工具，所以我们有必要对它们进行整理和归纳，让同行借鉴。 一．各心的定义。

1．

重心：三角形三条边的中线的交点。其性质一是连接重心和顶点，延长后必

交于对应边的中点。其性质二是重心把中线长分成2：1。 2．

垂心：三角形三边的高线的交点。其性质为垂心与顶点的连线必与对应的边

垂直。 3．

外心：三角形三边的中垂线的交点，即三角形的外接圆的圆心。其性质是外

心到三顶点等距离。 4．

内心：三角形三内角平分线的交点，即三角形的内切圆的圆心。其性质是内

心到三边等距离。

二．各心的向量表示。

在三角形ABC中，点O为平面内一点，若满足： 1．OA?OB?OC?0，则点O为三角形的重心。

分析：由?OA?OC?OB，以OB,OC为邻边作一平行四边形OBEC， 点D为BC中点，如图，由向量的平行四边形法则，

有OE?OC?OB，交BC于D，从而有OE?2OD?AO??OA 故O为重心。

1

AOCBDE

2．OA?OB?OC，则点O为三角形的外心。 3．OA?OB?OB?OC?OC?OA，

或者OA?BC?OB?AC?OC?AB，则点O为三角形的垂心。 分析：由OA?OB?OB?OC?OC?OA有三个等式，其中一个如OA?OB?OB?OC， 则有OB(OA?OC)?0，有OB?CA?0，故OB?AC。同理可证，点O为三角

形的垂心。

A222222O

BDC

b?OB，c?OC， 而在三角形ABC中，记a?OA，则由AB2?CO2?AC2?BO2

(a?b)?c22?(a?c)?b，展开为2a?b?2a?c，则(a?c)?b?0

22 故AC?OB ，同理可证BC?OA，从而点O为三角形的垂心。 4．BCOA?ACOB?ABOC?0，则点O为三角形的内心。

分析：若点O为三角形ABC的内心。如图，延长AO，过点C作CE//BO，由于

CECDCDAC??，由AD为角A的平分线，有，OBDBDBABCEACACAC??OB,故CE??OB 从而有，CE?OBABABAB?BDO与?CDE相似，有

2

AOBDEC

ODBDODODOA 同理可得，，而BO为角B的内角平分线，， ?OE??BC，?OEBCBDBDABOABCBC 有OE??BC??OA，故OE??AO

ABABABBCAC 而OE?OC?CE，所以?AO?OC??OB，

ABAB?BC?OA?AB?OC?AC?OB，有BCOA?ACOB?ABOC?0

三．动点的轨迹过三角形心的问题：

设点P为三角形ABC所在平面内的一个定点，点Q为平面内的一个动点，若满足： 1．PQ?PA??(AB?AC)，（其中??0,??R），则动点Q一定过?ABC的重心。 2．PQ?PA??(ABAB??ACAC（其中??0,??R），则动点Q一定过?ABC的内心。 )，

分析：由于ABABACAC表示AB,AC方向的单位向量之和，由菱形性质可知，

?(ABAB?ACAC)为角A的内角平分线。 ABACAC?cosC3．PQ?PA??(AB?cosB?，则动点Q一定过)（其中??0,??R）

?ABC 的垂心。 分析：下面只需说明ABAB?cosB?ACAC?cosC的性质。

AD?BC,延长AD， 如图，在?ABC中，过点B作BM//AC,记a1?BD,a2?CD,

3

b?AC,c?AB,则

aaaBM?1，BM?1?b，故有BM?1?AC ba2a2a2aaAMa ?，AM??AD，AM??AD

ADa2a2a2AcOa1BDa2Cb

M

由AM?AB?BM，从而有

aa1a2aa2?AD?AB?a1AC， a2?AD?ABACABACABAC???，有AD与共线， ?a1a2AB?cosBAC?cosCAB?cosBAC?cosC从而，ABAB?cosB?ACAC?cosC与BC垂直。

4．PQ?PB?PCABAC，则动点Q一定??(?)（其中??0,??R）

2AB?cosBAC?cosC过?ABC的外心。

四．三角形的外心O与它的垂心H的关系： OH?OA?OB?OC??2(HA?HB?HC)。

在?ABC中，以BC所在的直线为x轴，BC的中点为原点建立坐标系。设A(x1,y1)，

y?(x2?x1)B(?x2,0)，C(x2,0)。则不难求得它的外心坐标O(0,1)，从而有

2y13(x2?x1)?y1x?x1 OA?OB?OC?(x1,)。它的垂心坐标H(x1,2)，从而有

2y1y122222222 4

y?3(x2?x1) HA?HB?HC?(?2x1,1)。

y1 向量作为一种新的计算工具，其在不少的规律上有简明的表现，只要我们用心去发现，还能找到更加美丽的关系的。

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