2007年全国高中数学联赛江苏赛区初赛试卷

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2007年全国高中数学联赛江苏赛区初赛试卷

考生注意：1.本试卷共三大题（16小题），全卷满分150分. 考试时间：120分钟.

2.用钢笔、签字笔或圆珠笔作答.

3.解题书写不要超出装订线. 4.不能使用计算器.

一、选择题（本题满分36分，每小题6分）本题共有6小题，每题均给出A、B、C、D四个

结论，其中有且仅有一个是正确的. 请将正确答案的代表字母填在题的括号内. 每小题选对得6分；不选、选错或选出的字母超过一个（不论是否写在括号内），一律得0分. 1．已知函数y?sin2x，则

A．有最小正周期2?

?C．有最小正周期

2（ ）

B．有最小正周期? D．无最小周期

2．关于x的不等式x2?ax?20a2?0任意两个解的差不超过9，则a的最大值与最小值

的和是 （ ）

????????????3．已知向量a、b，设AB?a?2b，BC??5a?6b，CD?7a?2b，则一定共线的

A．2 B．1 C．0 D．－1

三点是 A．A、B、D B．A、B、C C．B、C、D D．A、C、D 4．设?、?、?为平面，m、n为直线，则m??的一个充分条件是 A．???，????n，m?n B．????m，???，??? C．???，???，m?? D．n??，n??，m??

（ ） （ ）

1，2，并且 2，3，4，5，6，7?，i?0，5．若m、n??xx?a2?102?a1?10?a0?，其中ai??1，m?n?636，则实数对(m,n)表示平面上不同点的个数为 （ ）

A．60个

2B．70个 C．90个 D．120个

6．已知f(x)?x?1?x?2???x?2007?x?1?x?2???x?2007（x?R），

且f(a?3a?2)?f(a?1), 则a的值有 （ ） A．2个 B．3个 C．4个 D．无数个

二、填空题（本题满分54分，每小题9分）本题共有6小题，要求直接将答案写在横线上. 7．设Sn为等差数列?an?的前n项和，若S5?10，S10??5，则公差为 . 8．设f(x)?loga(x?b)(a?0且a?1)的图象经过点(2，1)，它的反函数的图象经过点 （2，8），则a+b等于 . 9．已知函数y?f(x)的图象如图，则满足f(2x?x?1x?2x?122)?f(lg(x?6x?20))?0的

2x的取值范围为 .

y

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O 1 x 10．圆锥曲线x2?y2?6x?2y?10?x?y?3?0的离心率是 .

22311．在?ABC中，已知tanB? .

3，sinC?，AC?36，则?ABC的面积为

12．设命题P:a2?a，命题Q: 对任何x?R，都有x2?4ax?1?0. 命题P与Q中

有且仅有一个成立，则实数a的取值范围是 . 三、解答题（本题满分60分，共4小题，每题各15分） 13．设不等式组 ??x?y?0， 表示的平面区域为D. 区域D内的动点P到直线x?y?0和

?x?y?0直线x?y?0的距离之积为2. 记点P的轨迹为曲线C. 过点F(22，0)的直线l与曲线C交于A、B两点. 若以线段AB为直径的圆与y轴相切，求直线l的斜率. 14．如图，斜三棱柱ABC?A1B1C1中，面AA1C1C是菱形，?ACC1?60?，侧面

B ABB1A1?AA1C1C，A1B?AB?AC?1. B1

A 求证：（1）AA1?BC1；

（2）求点A1到平面ABC的距离.

A1

C C1

15．已知数列?an?中，a1?1，an?3?an?3，an?2?an?2. 求a2007.

16．已知平面上10个圆，任意两个都相交. 是否存在直线l，与每个圆都有公共点？证明

你的结论.

参考答案

一、选择题 1．B 解：y?sin2x?12(1?cos2x)，则最小正周期T??. 故选（B）．

222．C 解：方程x?ax?20a?0的两根是x1??4a，x2?5a，则由关于x的不等式

22x?ax?20a?0任意两个解的差不超过9，得|x1?x2|?|9a|?9，即

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?1?a?1. 故选（C）．

????????????????3．A 解：BD?BC?CD?2a?4b?2AB，所以A、B、D三点共线. 故选（A）． 4．D 解：（A）选项缺少条件m??；（B）选项当?//?，???时，m//?；（C）选项

当?、?、?两两垂直（看着你现在所在房间的天花板上的墙角），m????时，（D）选项同时垂直于同一条直线的两个平面平行．本选项为真命题. 故选（D）． m??；

5．C 解：由6?5?1?4?2?3?3及题设知，个位数字的选择有5种. 因为3?2?1?

?7?6?10，故

（1）由3?2?1知，首位数字的可能选择有2?5?10种；

（2）由3?7?6?10及5?4?1?2?3知，首位数字的可能选择有2?4?8种.

于是，符合题设的不同点的个数为5?(10?8)?90种. 故选（C）．

6．D 解：由题设知f(x)为偶函数，则考虑在?1?x?1时，恒有 f(x)?2?(1?2?3???2007)?2008?2007．

所以当?1?a2?3a?2?1，且?1?a?1?1时，恒有f(a2?3a?2)?f(a?1)．

3?23?253?25由于不等式?1?a2?3a?2?1的解集为

?a?，不等式

?1?a?1?1的解集为0?a?2．因此当

5?a?2时，恒有

． f(a?3a?2)?f(a?1). 故选（D）

二、填空题 7．d??1.

解：设等差数列?an?的首项为a1，公差为d.

?5a1?10d?10，?a1?2d?2，由题设得? 即 ? 解之得d??1.

10a?45d??5，2a?9d??1，1??128．4

?loga(2?b)?1，?(2?b)?a，解：由题设知 ? 化简得 ? 2(8?b)?a.log(8?b)?2，?a?第 3 页 共 8 页 金太阳新课标资源网

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?a1?3，?a2??2，解之得 ? ?（舍去）.

b?1；b??4.?1?2故a?b等于4. 9．x?[?2，1) ．

O 1 x y （第9题）

解： 因为 lg?x2?6x?20??lg?(x?3)2?11??lg11?1，所以

lg?x?6x?20??0. 于是，由图象可知，

22x?1x?1?1，即

x?2x?1?0，解得

?2?x?1. 故x的取值范围为 x?[?2，1)．

10．2 解：原式变形为(x?3)2?(y?1)2?|x?y?3|，即 (x?3)2?(y?1)2?

2|x?y?3|2．所以动点(x,y)到定点(?3，1)的距离与它到直线x?y?3?0的距离

之比为2．故此动点轨迹为双曲线，离心率为2． 11．S?ABC?83?62．

解：在?ABC中，由tanB?2233 得B?60?．由正弦定理得AB?AC?sinCsinB13?8．

因为arcsin?60?，所以角C可取锐角或钝角，从而cosC??．

sinA?sin(B?C)?sinBcosC?cosBsinC?AC?AB223?36．故

S?ABC?sinA?83?62． 12?a?1 .

12．?12?a?0 或

22解：由a?a得0?a?1．由x?4ax?1?0对于任何x?R成立，得

??16a?4?0，即?212?a?1a的取值范围是 ?12?a?0 或

21．因为命题P、Q有且仅有一个成立，故实数

?a?1．

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