圆周

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圆周运动的规律及其应用

一．考点整理 基本概念 1．圆周运动：质点沿着圆周的运动称为圆周运动．其轨迹为一圆弧，故圆周运动是曲线运动．

⑴ 描述圆周运动的物理量：描述圆周运动的物理量主要有线速度、角速度、周期、频率、转速、向心加速度、向心力等． 物理量 线速度 角速度 定义、意义 ① 描述圆周运动的物体运动 的物理量（v） ② 是矢量，方向和半径垂直，和圆周相切 ① 描述物体绕圆心 的物理量（ω） ② 中学不研究其方向 公式、单位 Δs2πr① v = Δt =T ② 单位：m/s Δ θ2π① ω = Δt = T ② 单位：rad/s 2πr① T = v 单位：s 周期和转速 ① 周期是物体沿圆周运动 的时间（T） ② 转速是物体单位时间转过的 （n）、频率（f） ② n的单位：r/s、r/min，f的单位：Hz ① 描述速度变化 的物理量（a） ② 方向指向 ① a = v2/r = rω2 ② 单位：m/s2 向心加速度 ⑵ 匀速圆周运动：做圆周运动的物体，若在相等的时间内通过的圆弧长 ，就是匀速圆周运动．① 特点：加速度大小 ，方向始终指向 ，是变加速运动．② 条件：合外力大小不变、方向始终与速度方向垂直且指向圆心． 2．向心力：

⑴ 作用效果：向心力产生 ，只改变速度的 ，不改变速度的 ． ⑵ 大小：F = = = m(2π/T)2r = mωv = 4π2mf2r．

⑶ 方向：始终沿半径方向指向圆心，时刻在改变，即向心力是一个变力．

⑷ 来源：向心力可以由一个力提供，也可以由几个力的合力提供，还可以由一个力的分力提供．

二．思考与练习 思维启动 1．关于质点做匀速圆周运动的下列说法正确的是 （ ）

A．由a = v2/r 知，a与r成反比 B．由a = ω2r知，a与r成正比

C．由ω = v /r知，ω与r成反比 D．由ω = 2πn知，ω与转速n成正比

2．如图所示，水平转台上放着一枚硬币，当转台匀速转动时，硬币没有滑动，关于这种情况下硬币的受力情况，下列说法正确的是 （ ） A．受重力和台面的支持力 B．受重力、台面的支持力和向心力 C．受重力、台面的支持力、向心力和静摩擦力 D．受重力、台面的支持力和静摩擦力 三．考点分类探讨 典型问题 〖考点1〗描述圆周运动的各物理量间的关系

【例1】如图所示为皮带传动装置，右轮的半径为r，a是它边缘上的一点，左侧

是一轮轴，大轮的半径是4r，小轮的半径是2r，b点在小轮上，到小轮中心的距离为r，c点和d点分别位于小轮和大轮的边缘上，若在传动过程中皮带不打滑，则 （ ） A．a点和b点的线速度大小相等 B．a点和b点的角速度大小相等 C．a点和c点的线速度大小相等 D．a点和d点的向心加速度大小相等

【变式跟踪1】如图所示为某一皮带传动装置．主动轮的半径为r1，从动轮的半径为r2．已

知主动轮做顺时针转动，转速为n，转动过程中皮带不打滑．下列说法正确的是 （ ）

A．从动轮做顺时针转动 B．从动轮做逆时针转动 C．从动轮的转速为(r1/ r2)n D．从动轮的转速为(r2/ r1)n 〖考点2〗匀速圆周运动的实例分析

【例2】铁路转弯处的弯道半径r是根据地形决定的．弯道处要求外轨比内轨高，其内、外

轨高度差h的设计不仅与r有关．还与火车在弯道上的行驶速度v有关．下列说法正确的是 （ ）

A．速率v一定时，r越小，要求h越大 B．速率v一定时，r越大，要求h越大 C．半径r一定时，v越小，要求h越大 D．半径r一定时，v越大，要求h越大 【变式跟踪2】“飞车走壁”是一种传统的杂技艺术，演员骑车在倾角很大的桶面

上做圆周运动而不掉下来．如图所示，已知桶壁的倾角为θ，车和人的总质量为m，做圆周运动的半径为r．若使演员骑车做圆周运动时不受桶壁的摩擦力，下列说法正确的是 （ ）

A．人和车的速度为grtan θ B．人和车的速度为grsin θ

mgmg

C．桶面对车的弹力为cos θ D．桶面对车的弹力为sin θ

〖考点3〗水平面内圆周运动的临界问题

【例3】如图所示，质量为m的木块，用一轻绳拴着，置于很大的水平转盘上，细绳穿过转

盘中央的细管，与质量也为m的小球相连，木块与转盘间的最大静摩擦力为其重力的μ倍（μ = 0.2），当转盘以角速度ω = 4 rad/s匀速转动时，要保持木块与转盘相对静止，木块转动半径的范围是多少？（g取10 m/s2）

【变式跟踪3】对于例3，若木块转动的半径保持r = 0.5 m不变，则转盘转动的角速度范围是多少？

〖考点4〗“竖直平面内圆周运动的绳、杆”模型

【例4】在离心浇铸装置中，电动机带动两个支承轮同向转动，管状模型放在这两个轮上靠

摩擦转动，如图所示，铁水注入之后，由于离心作用，铁水紧紧靠在模型的内壁上，从而可得到密实的铸件，浇铸时转速不能过低，否则，铁水会脱离模型内壁，产生次品．已知管状模型内壁半径R，则管状模型转动的最小角速度ω为 （ ）

A．

g

R B．g

2R C．2g

R D．2gR

【变式跟踪4】如图所示，M为固定在水平桌面上的有缺口的方形木块，abcd为

半径是R的四分之三光滑圆弧形轨道，a为轨道的最高点，de面水平且有一定长度．今将质量为m的小球在d点的正上方高为h处由静止释放，让其自由下落到d处切入轨道内运动，不计空气阻力，则 （ ） A．只要h大于R，释放后小球就能通过a点

B．只要改变h的大小，就能使小球通过a点后，既可能落回轨道内，又可能落到de面上

C．无论怎样改变h的大小，都不可能使小球通过a点后落回轨道内 D．调节h的大小，可以使小球飞出de面之外（即e的右侧） 四．考题再练 高考试题 1．【2013·江苏卷】如图所示，“旋转秋千”中的两个座椅A、B质量相等，通过相

同长度的缆绳悬挂在旋转圆盘上．不考虑空气阻力的影响，当旋转圆盘绕竖直的中心轴匀速转动时，下列说法正确的是 （ ） A．A的速度比B的大

B．A与B的向心加速度大小相等

C．悬挂A、B的缆绳与竖直方向的夹角相等 D．悬挂A的缆绳所受的拉力比悬挂B的小 【预测1】如图所示是体操男子单杆比赛，运动员质量为60 kg，做“双臂大回环”，

用双手抓住单杠，伸展身体，以单杠为轴做圆周运动．此过程中，运动员到达最低点时手臂受的总拉力至少约为（忽略空气阻力，g = 10 m/s2） （ ） A．600 N B．2 400 N C．3 000 N D．3 600 N 2．【2013·新课标全国卷Ⅱ】公路急转弯处通常是交通事故多发地带．如图，某公路急转弯处是一圆弧，当汽车行驶的速率为vc时，汽车恰好没有向公路内外两侧滑动的趋势．则在该弯道处 （ ） A．路面外侧高内侧低

B．车速只要低于vc，车辆便会向内侧滑动

C．车速虽然高于vc，但只要不超出某一最高限度，车辆便不会向外侧滑动 D．当路面结冰时，与未结冰时相比，vc的值变小

【预测2】火车轨道在转弯处外轨高于内轨，其高度差由转弯半径与火车速度确定．若在某

转弯处规定行驶的速度为v，则下列说法中正确的是 （ ）

A．当火车以v的速度通过此弯路时，火车所受重力与轨道面支持力的合力提供向心力 B．当火车以v的速度通过此弯路时，火车所受重力、轨道面支持力和外轨对轮缘弹力的合力提供向心力

C．当火车速度大于v时，轮缘挤压外轨

D．当火车速度小于v时，轮缘挤压外轨 五．课堂演练 自我提升 1．如图所示的齿轮传动装置中，主动轮的齿数z1 = 24，从动轮的齿数z2 = 8，当主动轮以角速度ω顺时针转动时，从动轮的运动情况是 （ ） A．顺时针转动，周期为2π/3ω B．逆时针转动，周期为2π/3ω C．顺时针转动，周期为6π/ω D．逆时针转动，周期为6π/ω

2．如图所示为一游乐场的转盘，大盘半径R1为小盘半径R2的两倍，两盘绕各自的中心轴转动，且两盘接触处无相对滑动．在两盘中心连线上有ABCD四个位置，O1A = R1/2，O2B = R2/2，C和D分别位于大盘和小盘的边缘．站在转盘上的游戏者，为使自己不被“甩”出去，在上述四个位置中最安全的是 （ ） A．位置A B．位置B C．位置C D．位置D

3．如图所示，倾角为30°的斜面连接水平面，在水平面上安装半径为R的半圆竖直挡

板，质量为m的小球从斜面上高为R/2处静止释放，到达水平面时恰能贴着挡板内侧运

动．不计小球体积，不计摩擦和机械能损失．则小球沿挡板运动时对挡板的压力是 （ ）

A．0.5mg B．mg C．1.5 mg D．2 mg

4．一轻杆一端固定质量为m的小球，以另一端O为圆心，使小球在竖直面内做半径为R

的圆周运动，如图所示，则下列说法正确的是 （ ）

A．小球过最高点时，杆所受到的弹力可以等于零 B．小球过最高点的最小速度是gR

C．小球过最高点时，杆对球的作用力一定随速度增大而增大 D．小球过最高点时，杆对球的作用力一定随速度增大而减小

5．如图所示，一内壁光滑的半径为R的圆筒固定，横截面在竖直平面内，圆筒内最低点

有一小球．现给小球2.2mgR的初动能，使小球从最低点开始沿筒壁运动，则小球沿筒壁做圆周运动过程中 （ ） A．小球可以到达轨道的最高点 B．小球不能到达轨道的最高点 C．小球的最小速度大于0.4gR D．小球的最小速度等于0.4gR 6．如图是滑道压力测试的示意图，光滑圆弧轨道与光滑斜面相切，滑道底部B处安装一个压力传感器，其示数FN表示该处所受压力的大小．某滑块从斜面上不同高度h处由静止下滑，通过B时，下列表述正确的有 （ ） A．FN小于滑块重力 B．FN大于滑块重力 C．FN越大表明h越大 D．FN越大表明h越小

7．图甲为游乐园中“空中飞椅”的游戏设施，它的基本装置是将绳子上端固定在转盘的边缘

上，绳子的下端连接座椅，人坐在座椅上随转盘旋转而在空中飞旋．若将人和座椅看成一个质点，则可简化为如图乙所示的物理模型，其中P为处于水平面内的转盘，可绕竖直转轴OO′ 转动，设绳长l = 10 m，质点的质量m = 60 kg，转盘静止时质点与转轴之间的距离d = 4.0 m，转盘逐渐加速转动，经过一段时间后质点与转盘一起做匀速圆周运动，此时绳与竖直方向的夹角θ = 37°，不计空气阻力及绳重，且绳不可伸长，sin 37° = 0.6，cos 37° = 0.8，g = 10 m/s2，求质点与转盘一起做匀速圆周运动时： ⑴ 绳子拉力的大小； ⑵ 转盘角速度的大小