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（2）估计该家庭使用节水龙头后，日用水量小于0.35 m的概率；
（3）估计该家庭使用节水龙头后，一年能节省多少水？（一年按365天计算，同一组中的数据以这组数据所在区间中点的值作代表．） 【答案】(1)直方图见解析. (2) 0.48． (3)
.
3
【解析】分析：(1)根据题中所给的使用了节水龙头50天的日用水量频数分布表，算出落在相应区间上的频率，借助于直方图中长方形的面积表示的就是落在相应区间上的频率，从而确定出对应矩形的高，从而得到直方图；
(2)结合直方图，算出日用水量小于0.35的矩形的面积总和，即为所求的频率；
(3)根据组中值乘以相应的频率作和求得50天日用水量的平均值，作差乘以365天得到一年能节约用水多少
，从而求得结果.
详解：（1）
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（2）根据以上数据，该家庭使用节水龙头后50天日用水量小于0.35m3的频率为 0.2×0.1+1×0.1+2.6×0.1+2×0.05=0.48，
因此该家庭使用节水龙头后日用水量小于0.35m3的概率的估计值为0.48． （3）该家庭未使用节水龙头50天日用水量的平均数为
．
该家庭使用了节水龙头后50天日用水量的平均数为
．
估计使用节水龙头后，一年可节省水
．
点睛：该题考查的是有关统计的问题，涉及到的知识点有频率分布直方图的绘制、利用频率分布直方图计算变量落在相应区间上的概率、利用频率分布直方图求平均数，在解题的过程中，需要认真审题，细心运算，仔细求解，就可以得出正确结果. 20. 设抛物线
，点
，的方程；
，过点的直线与交于，两点．
（1）当与轴垂直时，求直线（2）证明：【答案】(1) y= (2)见解析.
或
．
．
【解析】分析：(1)首先根据与轴垂直，且过点，求得直线l的方程为x=1，代入抛物线方程求得
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点M的坐标为
或
，利用两点式求得直线
的方程；
(2)分直线l与x轴垂直、l与x轴不垂直两种情况证明，特殊情况比较简单，也比较直观，对于一般情况将角相等通过直线的斜率的关系来体现，从而证得结果.
详解：（1）当l与x轴垂直时，l的方程为x=2，可得M的坐标为（2，2）或（2，–2）． 所以直线BM的方程为y=
或
．
（2）当l与x轴垂直时，AB为MN的垂直平分线，所以∠ABM=∠ABN． 当l与x轴不垂直时，设l的方程为由
2
，M（x1，y1），N（x2，y2），则x1>0，x2>0．
得ky–2y–4k=0，可知y1+y2=，y1y2=–4．
直线BM，BN的斜率之和为
．①
将，及y1+y2，y1y2的表达式代入①式分子，可得
．
所以kBM+kBN=0，可知BM，BN的倾斜角互补，所以∠ABM+∠ABN． 综上，∠ABM=∠ABN．
点睛：该题考查的是有关直线与抛物线的问题，涉及到的知识点有直线方程的两点式、直线与抛物线相交的综合问题、关于角的大小用斜率来衡量，在解题的过程中，第一问求直线方程的时候，需要注意方法比较简单，需要注意的就是应该是两个，关于第二问，在做题的时候需要先将特殊情况说明，一般情况下，涉及到直线与曲线相交都需要联立方程组，之后韦达定理写出两根和与两根积，借助于斜率的关系来得到角是相等的结论. 21. 已知函数（1）设
是
．
的极值点．求，并求时，
．
的单调区间；
（2）证明：当【答案】(1) a=(2)证明见解析.
；f（x）在（0，2）单调递减，在（2，+∞）单调递增．
【解析】分析：(1)先确定函数的定义域，对函数求导，利用f ′（2）=0，求得a=，从而确定出函数的
解析式，之后观察导函数的解析式，结合极值点的位置，从而得到函数的增区间和减区间；
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(2)结合指数函数的值域，可以确定当a≥时，f（x）≥，之后构造新函数g（x）=，利
用导数研究函数的单调性，从而求得g（x）≥g（1）=0，利用不等式的传递性，证得结果. 详解：（1）f（x）的定义域为由题设知，f ′（2）=0，所以a=从而f（x）=
，f ′（x）=aex–． ．
．
，f ′（x）=
当0
，则
．
当0
时，
．
点睛：该题考查的是有关导数的应用问题，涉及到的知识点有导数与极值、导数与最值、导数与函数的单调性的关系以及证明不等式问题，在解题的过程中，首先要保证函数的生存权，先确定函数的定义域，之后根据导数与极值的关系求得参数值，之后利用极值的特点，确定出函数的单调区间，第二问在求解的时候构造新函数，应用不等式的传递性证得结果.
（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。 22. [选修4—4：坐标系与参数方程] 在直角坐标系
中，曲线的方程为
．
．以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲
线的极坐标方程为
（1）求的直角坐标方程；
（2）若与有且仅有三个公共点，求的方程． 【答案】[选修4-4：坐标系与参数方程] 解：（1）由
．
（2）由（1）知是圆心为由题设知，是过点
，半径为的圆．
，
得的直角坐标方程为
且关于轴对称的两条射线．记轴右边的射线为，轴左边的射线为．由于在
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