1．(2020年高考辽宁卷改编)已知F是抛物线y＝x的焦点，A，B是该抛物线上的两点，|AF|＋|BF|＝3，则线段AB的中点到y轴的距离为________．
1
解析：∵|AF|＋|BF|＝xA＋xB＋＝3，
2
5
∴xA＋xB＝.
2
xA＋xB5
∴线段AB的中点到y轴的距离为＝.
24
5答案：
4
22
2．抛物线的顶点在原点，对称轴为x轴，若其准线经过椭圆4x＋9y＝36的右焦点，则该抛物线方程为________．
2
解析：已知椭圆方程可化为＋＝1，其中c＝a－b＝5，故抛物线的准线为直线
94
x2y2
22
x＝5，所以抛物线方程为y2＝－45x.
2
答案：y＝－45x
2
3．抛物线y＝x上到其准线和顶点距离相等的点的坐标是________．
解析：由抛物线定义知，抛物线上的点到准线的距离等于其到焦点的距离，而焦点为112F(，0)．故所求点坐标为(，±)． 48412答案：(，±)
84
2
4．过定点P(0,2)作直线l，使l与抛物线y＝4x有且只有一个公共点，这样的直线l共有________条．
解析：如图，过点P与抛物线y＝4x仅有一个公共点的直线有三条：二条切线、一条与x轴平行的直线．
答案：3
2
一、填空题
1
1．已知顶点与原点O重合，准线为直线x＝－的抛物线上有两点A(x1，y1)和B(x2，y2)，
4
若y1·y2＝－1，则∠AOB的大小是________．
→→2222
解析：由已知得抛物线方程为y＝x，因此OA·OB＝x1x2＋y1y2＝y1·y2＋y1y2＝(－1)＋(－1)＝0，故∠AOB＝90°.
答案：90°
2
2．M为抛物线x＝2py(p>0)上任意一点，F为焦点，则以MF为直径的圆与x轴的位置关系是________．
解析：如图所示，设C为线段MF的中点， 即C为圆的圆心，过C作CC′⊥x轴， 过M作MM′⊥x轴，则|CC′|＝
p?11?
(|MM′|＋|OF|)＝?yM＋?＝
2?22?
1
|MF|， 2
∴该圆与x轴相切． 答案：相切
2
3．若抛物线x＝－4y的通径为线段AB，O为抛物线的顶点，则下列说法正确的是________．
①通径长为8，△AOB的面积为4； ②通径长为8，△AOB的面积为2； ③通径长为4，△AOB的面积为4； ④通径长为4，△AOB的面积为2.
1
解析：由题意知|AB|＝2p＝4，∴S△AOB＝×4×1＝2.
2
答案：④
222
4．若点P在抛物线y＝x上，点Q在圆(x－3)＋y＝4，则|PQ|的最小值为________．
22222
解析：圆心C(3,0)，半径r＝2.设P(x，y)，则|PC|＝(x－3)＋y＝(x－3)＋x＝x－
11?5?21111
5x＋9＝?x－?＋≥，∴|PQ|min＝－2.
2?2?4411
－2 2
2
5．若点(3,1)是抛物线y＝2px(p>0)的一条弦的中点，且这条弦所在直线的斜率为2，则p＝________.
解析：设弦的两个端点为P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，
答案：
?y1＝2px1，?则?2
??y2＝2px2，
2
两式相减得
y1－y22p＝＝2. x1－x2y1＋y2
又∵y1＋y2＝2，∴p＝2. 答案：2
2
6．已知抛物线y＝4x，过点P(4,0)的直线与抛物线相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，22
则y1＋y2的最小值是________．
2222
解析：显然x1>0，x2>0.又y1＝4x1，y2＝4x2，所以y1＋y2＝4(x1＋x2)≥8x1x2，当且仅
22
当x1＝x2＝4时取等号，所以y1＋y2的最小值为32.
答案：32
7．如图，过抛物线y＝2px(p>0)的焦点F的直线l依次交抛物线及其准线于点A、B、C，若|BC|＝2|BF|，且|AF|＝3，则抛物线的方程为________．
解析：过A、B分别作准线的垂线AA′、BD，垂足分别为A′、D，则|BF|＝|BD|， 又2|BF|＝|BC|，
2
∴在Rt△BCD中，∠BCD＝30°，
又|AF|＝3，∴|AA′|＝3，∴|AC|＝6， ∴|AF|＋|FC|＝|AF|＋3|BF|＝6，
2p∴|BF|＝1，|AB|＝2＝4，
sinθ22
2p＝4sin60°＝3，抛物线方程为y＝3x.
2
答案：y＝3x
2
8．已知抛物线y＝8x，以坐标原点为顶点，作抛物线的内接等腰三角形OAB，|OA|＝|OB|，若焦点F是△OAB的重心，则△OAB的周长为________．
解析：如图所示．由|OA|＝|OB|可知AB⊥x轴，垂足为点M，又F是△OAB的重心，则2
|OF|＝|OM|.
3
3
∵F(2,0)，∴|OM|＝|OF|＝3.
2
22
∴M(3,0)，故设A(3，m)，代入y＝8x得m＝24， ∴m＝26或m＝－26.
∴A(3,26)．∴|OA|＝|OB|＝33. ∴△OAB的周长为233＋46. 答案：233＋46 二、解答题
9．顶点在原点，焦点在x轴的抛物线截直线y＝－2x－1所得的弦长|AB|＝53，求抛物线的方程．
2
解：设抛物线的方程为y＝2mx(m≠0)，点A的坐标为(x1，y1)，点B的坐标为(x2，y2)， 2??y＝2mx2??4x＋(4－2m)x＋1＝0 ?y＝－2x－1?
m－2
x＋x＝??2??1
xx＝??4
1
2
12
，
2∴y＝20x或y＝－12x.
2
10．若直线l：y＝kx－2交抛物线y＝8x于A、B两点，且AB的中点为M(2，y0)，求y0及弦AB的长．
222
解：把y＝kx－2代入y＝8x，得kx－(4k＋8)x＋4＝0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)． ∵AB中点M(2，y0)，
2
2
∴53＝5·
m－2
2
1
－4×?m＝10或－6，
4
4k＋8
∴x1＋x2＝4，即2＝4，
k解得k＝2或k＝－1.
22
又Δ＝16k＋64k＋64－16k>0， ∴k>－1，∴k＝2，
此时直线方程为y＝2x－2， ∵M(2，y0)在直线上，
42
4－4×2＝215.
2
2
11．已知抛物线y＝－x与直线y＝k(x＋1)相交于A、B两点． ∴y0＝2，|AB|＝1＋k|x2－x1|＝5·
2
(1)求证：OA⊥OB.
(2)当△OAB的面积等于10时，求k的值．
2解：(1)证明：如图所示，由方程组???y＝－x??y＝kx＋1
设A(x1，y1)、B(x2，y2)，
由根与系数的关系y1·y2＝－1.
∵A、B在抛物线y2
＝－x上， ∴y2x222
1＝－1，y2＝－x2，y1·y2＝x1x2.
∵kky1y2y1y21
OA·OB＝x·＝x＝＝－1，∴OA⊥OB.
1x21x2y1y2
(2)设直线与x轴交于N，显然k≠0. ∴令y＝0，则x＝－1，即N(－1,0)． ∴S△OAB＝S△OAN＋S△OBN
＝11
2|ON||y1|＋2|ON||y2| ＝1
2
|ON|·|y1－y2|， ∴S1
2
△OAB＝2·1·y1＋y2
－4y1y2
＝12
－
12
k＋4.
∵S＝10，∴10＝11
△OAB2
k2＋4，
解得k＝±1
6
. 消去x后，整理得ky2
＋y－k＝0.
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