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专题21 三角函数的图象和性质
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近几年高考在对三角恒等变换考查的同时，对三角函数图象与性质的考查力度有所加强，往往将三角恒等变换与图象和性质结合考查.其中三角函数的定义域值域、单调性、奇偶性、周期性、对称性以及图象变换是主要考查对象，难度仍然以中低档为主，重在对基础知识的考查，淡化特殊技巧，强调通解通法，其中对函数y?Asin??x??? x?R的图象要求会用五点作图法作出，并理解它的性质：
（1）函数图象在其对称轴处取得最大值或最小值，且相邻的最大值与最小值间的距离为其函数的半个周期； （2）函数图象与x轴的交点是其对称中心，相邻两对称中心间的距离也是其函数的半个周期；http://www.zk5u.com/（3）函数取最值的点与相邻的与x轴的交点间的距离为其函数的1、正弦函数y?sinx的性质 （1）定义域：x?R （2）值域：y???1,1? （3）周期：T?2? （4）对称轴（最值点）：x?1个周期. 4?2?k??k?Z?
（5）对称中心（零点）：?k?,0??k?Z?，其中?0,0?是对称中心，故y?sinx也是奇函数 （6）单调增区间：???????2k?,?2k??,k?Z
2?2? 单调减区间：?3?????2k?,?2k??,k?Z
2?2?
2、余弦函数y?cosx的性质 （1）定义域：x?R （2）值域：y???1,1?
1
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（3）周期：T?2?
（4）对称轴（最值点）：x?k??k?Z?其中x?0是对称轴，故y?cosx也是偶函数
（5）对称中心（零点）：?????k?,0??k?Z? ?2?（6）单调增区间：????2k?,??2k??,k?Z ,单调减区间：?2k?,??2k??,k?Z 3、正切函数y?tanx的性质 （1）定义域：x??x|x?（2）值域：y?R （3）周期：T?? （4）对称中心：??????k?,k?Z? 2??k??,0??k?Z? 2??（5）零点：?k?,0??k?Z? （6）单调增区间：???????k?,?k??,k?Z
2?2?
注：正切函数的对称中心由两部分构成，一部分是零点，一部分是定义域取不到的x的值
4、y?sinx的性质：与正弦函数y?sinx相比，其图像可以看做是由y?sinx图像变换得到（x轴上方图像不变，下方图像沿x轴向上翻折），其性质可根据图像得到： （1）定义域：x?R （2）值域：y??0,1? （3）周期：T?? （4）对称轴：x?k??k?Z? 2（5）零点：x?k??k?Z? 2
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（6）单调增区间：?k?,????????k??,k?Z,单调减区间：???k?,k??,k?Z 2??2?5、y?Asin??x????A?0?的性质：此类函数可视为正弦函数y?sinx通过坐标变换所得，通常此类函数的性质要通过计算所得。所涉及的性质及计算方法如下： （1）定义域：x?R （2）值域：y???A,A? （3）周期：T?2??
（4）对称轴（最值点），对称中心（零点），单调区间需通过换元计算所求。通常设t??x??，其中??0，则函数变为y?Asint，在求以上性质时，先利用正弦函数性质与图像写出t所满足的条件，然后将t还原为?x??再解出x的值（或范围）即可
注：1、余弦函数也可看做y?Asin??x???的形式，即y?cosx?sin?x?得到。
2、对于某些解析式的性质（如对称轴，单调区间等）可根据解析式的特点先变形成为y?Asin??x???，再求其性质
【经典例题】
例1.【2017课标II，文3】函数f(x)?sin(2x?A.4π B.2π C. π D.【答案】C
?????，所以其性质可通过计算2?π)的最小正周期为（ ） 3π 23
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