?ln?x?1?,x?0?16．已知函数f?x???1，若m?n，且f?m??f?n?，则n?m的取
?x?1,x?0?2值范围是________． 【答案】?3?2ln2,2?
【解析】令f?m??f?n??t，可得出0?t?1，利用t表示m、n，然后利用导数可求出n?m的取值范围. 【详解】
令f?m??f?n??t，如下图所示：
由图象可知，0?t?1，由
t1m?1?t?m?2t?2，ln?n?1??t?n?et?1. 2t设g?t??n?m?e?2t?1?0?t?1?，则g??t??e?2，
令g??t??0，得t?ln2，当0?t?ln2时，g??t??0，当ln2?t?1时，g??t??0. 所以，函数y?g?t?的单调递减区间为?0,ln2?，单调递增区间为?ln2,1.
??g?t?min?g?ln2??3?2ln2，
Qg?1??e?1，g?0??2，所以g?t??n?m??3?2ln2,2?．
故答案为：3?2ln2,2?. 【点睛】
本题考查函数零点代数式取值范围的求解，将代数式转化为以某变量为自变量的函数值域问题是解答的关键，考查化归与转化思想的应用，属于中等题.
三、解答题
217．已知命题甲：关于x的不等式x??a?3?x?a?0的解集为全体实数R,命题乙：方
?程x2?2ax??a?4??0有两个不相等的实根. （1）若甲、乙都是真命题，求实数a的取值范围；
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（2）若甲、乙中至少有一个是真命题，求实数a的取值范围 【答案】(2)2?a?9 (2)a>1或a<-4
【解析】先化简命题甲和乙，（1）求命题甲和命题乙为真的a的取值范围的交集；（2）用补集法求甲、乙中至少有一个是真命题时实数a的取值范围. 【详解】
命题甲：由题得?=(a?3)?4a?0,?1?a?9
命题乙：由题得?=(2a)2+4(a?4)?0,?a??4或a?2. （1）若甲、乙都是真命题，所以2?a?9；
（2）假设甲、乙两个命题都是假命题，甲是假命题，则a?1或a?9，乙是假命题，则?4?a?2,所以?4?a?1.
如果甲、乙中至少有一个是真命题，则a>1或a
本题主要考查二次方程和二次不等式恒成立问题，考查命题真假的判断，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.
18．已知动圆M过定点?1,0?，且与直线x??1相切. （1）求动圆圆心M的轨迹C的方程；
（2）设A,B是轨迹C上异于原点O的两个不同点，直线OA和OB的斜率分别为
2k1,k2，且k1?k2?1，证明直线AB恒过定点，并求出该定点的坐标
【答案】（1）y?4x；（2）证明见解析,过定点(?4,0).
2【解析】（1）由题意可得，动点M到定点?1,0?与定直线x??1的距离相等，由抛物线的定义可求动圆圆心M的轨迹C的方程； （2）设A?x1,y1?,B?x2,y2?，则k1k2?y1y2?1.由题意知直线AB的斜率存在，从而x1x222设AB方程为y?kx?b，将y?kx?b与y?4x联立消去x，得ky?4y?4b?0，由韦达定理得y1?y2?方程即得. 【详解】
（1）设M为动圆圆心，?1,0?记为F，过点M作直线x??1的垂线，垂足为N，
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y1y24bkk??1得y1y2?16，?b?4k代入直线AB，代入12xxk12由题意知：MF?MN即动点M到定点F与定直线x??1的距离相等， 由抛物线的定义知，点M的轨迹为抛物线，其中F?1,0?为焦点，x??1为准线， 所以轨迹方程为y?4x；
（2）如图，设A?x1,y1?,B?x2,y2?，由题意得x1,x2?0，
22yy12由题意知直线AB的斜率存在，从而设AB方程为y?kx?b，显然x1?， ,x2?442将y?kx?b与y?4x联立消去x，得ky?4y?4b?0
22由韦达定理知y1?y2?4b k22y1y2yy12?1，即y1y2?x1x2?由k1k2??,?y1y2?16
x1x244将①式代入上式整理化简可得：
4b?16,?b?4k， k所以AB方程为y?k(x?4)过定点(?4,0). 【点睛】
本题考查抛物线的定义和与抛物线有关的定点问题，考查学生的运算能力，属于较难的题目.
19．如图，在四棱锥P?ABCD中，底面ABCD是矩形，M是PA的中点，PD?平面ABCD，且PD?CD?4，AD?2．
（1）求证：PA?CD；
（2）求AP与平面CMB所成角的正弦值； （3）求二面角M?CB?P的余弦值． 【答案】（1）证明见解析；（2）
4310. ；（3）105【解析】（1）根据线面垂直的判定定理证明CD?平面PAD，即证PA?CD； （2）以D为原点，分别以DA,DC,DP所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标
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系，求平面CMB的法向量，用向量的方法求直线AP与平面CMB所成角的正弦值； （3）求平面CBP的法向量，用向量的方法求二面角M?CB?P的余弦值． 【详解】
（1）QPD?平面ABCD，CD?平面ABCD，?PD?CD.
Q底面ABCD是矩形，?AD?CD，又ADIPD?D，
\\CD^平面PAD，PA?平面PAD， ?CD?PA.
（2）以D为原点，分别以DA,DC,DP所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，如图所示
则D?0,0,0?,A?2,0,0?,C?0,4,0?,P?0,0,4?,M?1,0,2?,B?2,4,0?，
uuuruuuruuuuruuur?AP???2,0,4?,CB??2,0,0?,BM???1,?4,2?,AP?25，
r设平面CMB的法向量n??x,y,z?，则
vvuuurr?n·CB?0?x?0v，即?，令y?1，则z?2，?n??0,1,2?,n?5. ?vuuuu?x?4y?2z?0n·BM?0??设直线AP与平面CMB所成的角为?，则
uuurruuurrAPgn84sin??cos?AP,n??uuu?. rr?25?55APn所以AP与平面CMB所成角的正弦值为
uuuruuur（3）CB??2,0,0?,BP???2,?4,4?. ur设平面CBP的法向量m??x,y,z?，则
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