uuuvvurur?m·CB?0?x?0v，即?，令y?1，则z?1.m??0,1,1?,m?2. ?vuuuBP?0??2x?4y?4z?0?m·rr又平面CMB的法向量n??0,1,2?,n?5. 设二面角M?CB?P的大小为?，则?为锐角，
urrurrmgn3310?cos??cos?m,n??u?rr?，
102?5mn所以二面角M?CB?P的余弦值为【点睛】
本题考查线线垂直，考查用向量的方法求线面角和面面角，考查学生的运算能力，属于较难的题目.
20．某城市100户居民的月平均用电量（单位：度），以160,180?，180,200?，
310． 10???200,220?，?220,240?，?240,260?，?260,280?，?280,300?分组的频率分布直方
图如图．
（1）求直方图中的值；
（2）求月平均用电量的众数和中位数；
（3）在月平均用电量为220,240?，240,260?，260,280?，280,300的四组用户中，用分层抽样的方法抽取取多少户？
【答案】（1）0.0075；（2）230，224；（3）5． 【解析】【详解】试题分析：（1）由直方图的性质可得
20=1，解方程可得；（0.002+0.0095+0.011+0.0125+x+0.005+0.0025）×（2）由直方图中众数为最高矩形上端的中点可得，可得中位数在[220，240）内，设中位数为a，解方程20+0.0125×（0.002+0.0095+0.011）×（a-220）=0.5可得；（3）可得各段的用户分别为
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户居民，则月平均用电量在220,240?的用户中应抽
??????25，15，10，5，可得抽取比例，可得要抽取的户数
试题解析：(1)由直方图的性质可得(0.002＋0.0095＋0.011＋0.0125＋x＋0.005＋0.0025)×20＝1得：
x＝0.0075，所以直方图中x的值是0.0075. ------------- 3分 (2)月平均用电量的众数是
220?240＝230. ------------- 5分 220＝0.45<0.5，所以月平均用电量的中位数在[220,240)内， 因为(0.002＋0.0095＋0.011)×设中位数为a，
20＋0.0125×(a－220)＝0.5 由(0.002＋0.0095＋0.011)×
得：a＝224，所以月平均用电量的中位数是224. ------------ 8分 (3)月平均用电量为[220,240)的用户有0.0125×20×100＝25户， 20×100＝15户， 月平均用电量为[240,260)的用户有0.0075×
20×100＝10户， 月平均用电量为[260,280)的用户有0. 005×
20×100＝5户， -------------10分 月平均用电量为[280,300]的用户有0.0025×抽取比例＝
1111＝，所以月平均用电量在[220,240)的用户中应抽取25×25?15?10?555＝5户．-- 12分
【考点】频率分布直方图及分层抽样
21．已知函数f?x??lnx，g?x??x?1．
（1）求函数y?f?x?图像在点P(1,0)处的切线方程；
（2）若不等式f?x??ag?x?对于任意的x??1,???均成立，求实数a的取值范围．
，???. 【答案】（1）y?x?1；（2）?1【解析】（1）求f写出切线方程；
（2）对于任意的x??1,???，f?x??0,g?x??0，由不等式f?x??ag?x?，得
'?x?，求函数y?f?x?在点P(1,0)处的切线的斜率f'?1?，点斜式
a?lnxlnx'，求的取值范围.令h?x??lnx?x?1，求导h?x?，判断h?x?的单调x?1x?1性，即可求得. 【详解】
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'（1）函数f?x??lnx的定义域为?0,???，f?x??1,?f'?1??1， x?函数y?f?x?图像在点P(1,0)处的切线方程为y?x?1.
（2）Q对于任意的x??1,???，f?x??0,g?x??0，由不等式f?x??ag?x?，得
a?lnx. x?1令h?x??lnx?x?1,x?1，
?h'?x??1?1?0，?h?x?在?1,???上单调递减，?h?x??h?1??0， xlnx?1， 即lnx?x?1?0，?lnx?x?1,Qx?1?0?x?1?a?1.
，???． 所以实数a的取值范围为?1【点睛】
本题考查利用导数研究不等式恒成立问题，考查参变量分离求参数的取值范围，属于较难的题目.
1x2y222．如图，椭圆C：2+2?1(a＞b＞0)的离心率为，其左焦点到点P(2，1)的距
2ab 离为10．不过原点O的直线l与C相交于A，B两点，且线段AB被直线OP平分．
(Ⅰ)求椭圆C的方程；
(Ⅱ) 求?ABP的面积取最大时直线l的方程．
x2y2【答案】(Ⅰ)+?1；(Ⅱ)3x?2y?27?2?0．
43【解析】试题分析：（1）由题意得到离心率，再结合距离公式即可得：
22xya?4,b?3,c?1，?所求椭圆C的方程为：??1.（2）易得直线OP的方
43222程：y?133x，用点差法得到kAB??，设直线AB的方程为l：y??x?m(m?0)，
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与椭圆方程联立得3x2?3mx?m2?3?0，由??0得到m的取值范围；由弦长公式
AB?1?k2xA?xB，点到直线的距离表示出面积
S?ABP?13dAB??4?m?12?m2，即可求出直线l的方程． 26试题解析：（1）由题：e?c1?； ? a2左焦点??c,0?到点P(2,1)的距离为：d?由????可解得：a?4,b?3,c?1.
22xy?所求椭圆C的方程为：??1. 43222?2?c?2?12?10.?
（2）易得直线OP的方程：y?1x，设A?xA,yA?,B?xB,yB?,R?x0,y0?.其中2y0?1x0. 2QA、B在椭圆上，
xA2yA2??1yA?yB3xA?xB32x0343?{2?k???????. AB2x?x4y?y42y2xByABAB0?B?143设直线AB的方程为l：y??3x?m(m?0)， 2x2y2??143?3x2?3mx?m2?3?0. 代入椭圆：{3y??x?m2显然??(3m)?4?3m?3?312?m2?2??2??0.
??23?m?23且m?0.
m2?3. 由上又有：xA?xB?m,yA?yB?3?AB?1?kxA?xB?1?kAB2?xA?xB?m?49. 1?42?4xAxB?1?k2m2. 4?3Q点P(2,1)到直线l的距离为：
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