全国各地中考数学分类解析图形的相似与位似

的关键，

（2012山东省荷泽市，18,10）如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，△ABC和△DEF的顶点都在格点上，P1，P2，P3，P4，P5是△DEF边上的5个格点，请按要求完成下列各题：个人收集整理 勿做商业用途 （1）试证明三角形△ABC为直角三角形； （2）判断△ABC和△DEF是否相似，并说明理由；

（3）画一个三角形，它的三个顶点为中的3个格点并且与△ABC相似；（要求：用尺规作图，保留痕迹，不写作法与证明）个人收集整理 勿做商业用途

【解析】在网格中借助勾股定理求△ABC三边的长，然后利用勾股定理的逆定理来判断△ABC的形状. 【答案】解：

（1）根据勾股定理，得AB?25，AC?5，BC=5 ； 显然有AB?AC?BC，

根据勾股定理的逆定理得△ABC 为直角三角形 （1） △ABC和△DEF相似．

根据勾股定理，得AB?25，AC?5，BC=5 DE?42，DF?22，EF?210．

B 222D P5 F C

A

P4

P1

P2

P3 E

QABACBC5???， DEDFEF22∴△ABC∽△DEF． （3）如图：△P2P4 P5．

【点评】在网格中计算线段的长，勾股定理是首先的计算方法，在网格中证明三角形相似，常用的方法是两边对应成比且夹角相等或者三边对应成比例.个人收集整理 勿做商业用途

（2012安徽，22，12分）如图1，在△ABC中，D、E、F分别为三边的中点，G点在边AB上，△BDG与四边形ACDG的周长相等，设BC=a、AC=b、AB=c.个人收集整理 勿做商业用途 （1）求线段BG的长；

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解：

（2）求证：DG平分∠EDF; 证：

（3）连接CG，如图2，若△BDG与△DFG相似，求证：BG⊥CG. 证：

解析：已知三角形三边中点连线，利用三角形中位线性质计算证明.（1）已知△ABC的边长，由三角形中位线性质知DF?11b?c.（2）由（1）的b,DE?c，根据△BDG与四边形ACDG周长相等，可得BG?222结论，利用等腰三角形性质和平行线性质可证. （3）利用两个三角形相似，对应角相等，从而等角对等边，BD=DG=CD，即可证明.个人收集整理 勿做商业用途 解（1）∵D、C、F分别是△ABC三边中点 ∴DE∥11AB,DF∥AC， 22又∵△BDG与四边形ACDG周长相等 即BD+DG+BG=AC+CD+DG+AG ∴BG=AC+AG ∵BG=AB－AG

AB?ACb?c= 22b?cb?ccb（2）证明：BG=，FG=BG－BF=－?

2222∴BG=

∴FG=DF,∴∠FDG=∠FGD 又∵DE∥AB ∴∠EDG=∠FGD ∠FDG=∠EDG ∴DG平分∠EDF

（3）在△DFG中，∠FDG=∠FGD, △DFG是等腰三角形, ∵△BDG与△DFG相似,∴△BDG是等腰三角形, ∴∠B=∠BGD,∴BD=DG,

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则CD= BD=DG,∴B、CG、三点共圆, ∴∠BGC=90°,∴BG⊥CG

点评：这是一道几何综合题，在计算证明时，根据题中已知条件，结合图形性质来完成.后面的问题可以结合前面问题来做.个人收集整理 勿做商业用途

（2012山东泰安，28，10分）如图，E是矩形ABCE的边BC上一点，EF⊥AE，EF分别交AC、CD于点M、F，BG⊥AC，垂足为G，BG交AE于点H。个人收集整理 勿做商业用途 （1）求证：△ABE∽△ECF；

（2）找出与△ABH相似的三角形，并证明； （3）若E是BC中点，BC=2AB，AB=2，求EM的长。

【解析】（1）由四边形ABCD是矩形，可得∠ABE=∠ECF=90°，又由EF⊥AE，利用同角的余角相等，可得∠BAE=∠CEF，然后利用有两组角对应相等的两个三角形相似，即可证得：△ABE∽△ECF；（2）由BG⊥AC，易证得∠ABH=∠ECM，又由（1）中∠BAH=∠CEM，即可证得△ABH∽△ECM；（3）首先作MR⊥BC，垂足为R，由AB：BC=MR：RC=2，∠AEB=45°，即可求得MR的长，又由EM=

商业用途 MR，即可求得答案．个人收集整理 勿做osin45【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，∴∠ABE=∠ECF=90°．∵AE⊥EF，∠AEB+∠FEC=90°．∴∠AEB+∠BEA=90°，∴∠BAE=∠CEF，∴△ABE∽△ECF.（2）△ABH∽△ECM．证明：∵BG⊥AC，∴∠ABG+∠BAG=90°，∴∠ABH=∠ECM，由（1）知，∠BAH=∠CEM，∴△ABH∽△ECM.（3）解：作MR⊥BC，垂足为R，∵AB=BE=EC=2，个人收集整理 勿做商业用途 ∴AB：BC=MR：RC=2，∠AEB=45°，∴∠MER=45°，CR=2MR，∴MR=ER=RC=，∴EM=

收集整理 勿做商业用途 MR=

sin45o．个人

【点评】考查了矩形的性质，直角三角形的性质、相似三角形的判定与性质以及三角函数等知识．解题时

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注意数形结合思想的应用，注意掌握“有两组角对应相等的两个三角形相似”定理的应用．个人收集整理 勿做商业用途

（2012贵州铜仁，8，4分如图，六边形ABCDEF∽六边形GHIJKL，相似比为2:1，则下列结论正确的是（ ）

个人收集整理 勿做商业用途 A．∠E=2∠K B. BC=2HI

C. 六边形ABCDEF的周长=六边形GHIJKL的周长 D. S六边形ABCDEF=2S六边形GHIJK

【解析】A、∵六边形ABCDEF∽六边形GHIJKL，∴∠E=∠K，故本选项错误；

B、∵六边形ABCDEF∽六边形GHIJKL，相似比为2：1，∴BC=2HI，故本选项正确；

C、∵六边形ABCDEF∽六边形GHIJKL，相似比为2：1，∴六边形ABCDEF的周长=六边形GHIJKL的周长×2，故本选项错误；个人收集整理 勿做商业用途 D、∵六边形ABCDEF∽六边形GHIJKL，相似比为2：1，∴S六边形ABCDEF=4S六边形GHIJKL，故本选项错误．个人收集整理 勿做商业用途 8题图

【解答】B.

【点评】本题考查相似图形的性质.两个图形相似，对应角相等，边长的比和周长的比都等于相似比，面积比等于相似比的平方.解答此题应注意相似图形边长的比、周长的比、面积比与相似比之间的关系.个人收集整理 勿做商业用途 （2012陕西5，3分）如图，在?ABC中，AD,BE是两条中线，则S?EDC:S?ABC?（）

A．1∶2

B．2∶3 D．1∶4

C．1∶3

【解析】由题意可知，ED为?ABC的中位线，则△CED∽△CAB

∴S?EDC:S?ABC?(【答案】D

【点评】本题主要考查了三角形的中线的定义、中位线的性质、相似三角形的性质等.难度中等.

（2012湖北咸宁，6，3分）如图，正方形OABC与正方形ODEF是位似图形，O为位似中心，相似比为1∶2，

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ED21)?()2?1:4，故选D． AB2