丰台区2015—2016学年度第一学期期末练习 2016.01
高三数学（理科） 第一部分 （选择题 共40分）
一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
1. 复数(1?i)(1?ai)是实数，则实数a等于
（A）2 （B）1 （C）0 （D）-1 2.“x2?0”是“x?0”的
（A）充分而不必要条件 （B）必要而不充分条件 （C）充分必要条件 （D）既不充分也不必要条件 3.已知数列{an}中，a1?1,an?1?1，若利用下 1?an开始n=1,A=1面程序框图计算该数列的第2016项，则判断 框内的条件是
？是n=n+1A=1A+1（A）n?2014 （B）n?2016 （C）n?2015 （D）n?2017
否输出A结束?x?1?cos?4.若点P为曲线?（?为参数）上一点，则点P与坐标原点的最短距离为
?y?1?sin?（A）2?1 （B）2+1 （C）2 （D）2 5.函数f(x)=sin2x+3cos2x在区间[0,?]上的零点之和是 （A）
7?2?7?4?（B）（C）（D）
12 3 63
2221116. 若a??2xdx，b??xdx，c??log2xdx，则a,b,c的大小关系是
（A）c?b?a （B）b?c?a （C）c?a?b （D）a?b?c
x2y2xy7. 若F（c,0）为椭圆C：2?2?1(a?b?0)的右焦点，椭圆C与直线??1交于
ababA,B两点，线段AB的中点在直线x?c上，则椭圆的离心率为 （A）1323（B）（C）（D）
2 2 32
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8.在下列命题中：
①存在一个平面与正方体的12条棱所成的角都相等； ②存在一个平面与正方体的6个面所成较小的二面角都相等； ③存在一条直线与正方体的12条棱所成的角都相等； ④存在一条直线与正方体的6个面所成的角都相等. 其中真命题的个数为
（A）1 （B）2 （C）3 （D）4
第二部分（非选择题共110分）
二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。
9.在（2x?1)7的展开式中，x2的系数等于_____.（用数字作答）
?x?y?3?0,?10.若x,y的满足?x?y?3?0,则z?2x?y的最小值为 .
?x?1.?
11.设等差数列{an}的前n项和为Sn，若S7=42,则a2?a3?a7= . ?????????12.在?ABC中，AC?1,BC?3,点M,N是线段AB上的动点，则CM?CN的最大值为_______.
13.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为 .
222?ex?a(x?1),14.设函数f(x)??其中a??1.
?ln(x?a)(x?1). ①当a?0时，若f(x)?0，则x?__________；
（-?，??） ②若f(x)在上是单调递增函数，则a的取值范围
主视图侧视图俯视图________.
二、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 15.（本小题13分）
如图，在?ABC中，AB=12，AC=36，BC=56，点D在边BC上，且?ADC?60O. （Ⅰ）求cosC； （Ⅱ）求线段AD的长.
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16.（本小题14分）
如图，在四棱锥P-ABCD中，AD∥BC，AB⊥AD，E是AB的中点，AB=AD=PA=PB=2，BC=1，PC=5. （Ⅰ）求证：CF∥平面PAB； （Ⅱ）求证：PE⊥平面ABCD； (Ⅲ)求二面角B-PA-C的余弦值.
17.（本小题14分）
随着人们社会责任感与公众意识的不断提高，越来越多的人成为了志愿者. 某创业园区对其员工是否为志愿者的情况进行了抽样调查，在随机抽取的10位员工中，有3人是志愿者.
（Ⅰ）在这10人中随机抽取4人填写调查问卷，求这4人中恰好有1人是志愿者的概
率P1；
（Ⅱ）已知该创业园区有1万多名员工，从中随机调查1人是志愿者的概率为
3， 10那么在该创业园区随机调查4人，求其中恰有1人是志愿者的概率P2；
（Ⅲ）该创业园区的A团队有100位员工，其中有30人是志愿者. 若在A团队随机调
查4人，则其中恰好有1人是志愿者的概率为P3. 试根据（Ⅰ）、（Ⅱ）中的P1和P2的值，写出P1，P2，P3的大小关系（只写结果，不用说明理由）. 18.（本小题13分）
1 已知函数f(x)?ax3?x2(a?0).
3 （Ⅰ）求函数y?f(x)的极值；
11 （Ⅱ）若存在实数x0?(?1,0)，且x0??，使得f(x0)?f(?)，求实数a的取值范围.
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19.（本小题13分）
已知定点M(1,0)和直线x??1上的动点N(?1,t)，线段MN的垂直平分线交直线
y?t 于点R，设点R的轨迹为曲线E. （Ⅰ）求曲线E的方程；
（Ⅱ）直线y?kx?b(k?0)交x轴于点C，交曲线E于不同的两点A,B，点B关于x轴
的对称点为点P.点C关于y轴的对称点为Q，求证：A，P，Q三点共线.
20.（本小题13分）
（i?k,k?1,2,3,?,n?1) 已知数列{an}的各项均为正数，满足a1?1，ak?1?ak?ai.
（Ⅰ）求证：ak?1?ak?1（k?1,2,3,?,n?1)； （Ⅱ）若{an}是等比数列，求数列{an}的通项公式；
1 （Ⅲ）设数列{an}的前n项和为Sn，求证：n(n?1)?Sn?2n?1.
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