s3s2s1s0?20?2.5?9010?1010
表中第一列元素变号两次，故右半s平面有两个闭环极点，系统不稳定。
42对辅助方程?5s?5s?10?0化简得
(s2?1)(s2?2)?0①
由D(s)/辅助方程，得余因式为
(s-1)(s+5)=0 ②
求解①、②，得系统的根为
s1,2??j2s3,4??1s5?1s6??5
所以，系统有一对纯虚根。
3-9 已知单位反馈系统的开环传递函数
G(s)?（1）（２）
100(0.1s?1)(s?5)
50s(0.1s?1)(s?5) 10(2s?1)s2(s2?6s?100)
2G(s)?G(s)?（３）
试求输入分别为 r(t)?2t和 r(t)?2?2t?t时，系统的稳态误差。 分析：
用静态误差系数法求稳态误差比用误差传递函数求解更方便。对复杂的输入表达式，可分解为典型输入函数的线性组合，再利用静态误差系数法分别求各典型输入引起的误差，最后叠加起来即为总的误差。 解 （1）
判别系统的稳定性
D(s)?(0.1s?1)(s?5)?100?0
10D(s)?(s?10)(s?5)?1000?s2?15s?1050?0
s2s11151050
可见，劳思表中首列系数全部大于零，该系统稳定。 求稳态误差
K＝100/5=20,系统的型别??0， 当r1(t)?2时，
s01050ess1?22??0.0951?Kp1?20 22???Kv0
当r2(t)?2t时，
2ess2?22t2e????r3(t)?t?2?ss3Ka02时，当
所以，
ess
r?2?2t?t2
ess ? ，
r?2t (2)判断稳定性
21?????? 2
D(s)?s(s?10)(s?5)?500?s3?15s2?50s?500
s4s3s2s1s01696.75622910100201010
劳斯表中首列系数全部大于零，该系统稳定。 求稳态误差
K＝10/100=0.1,系统的型别??2， 当r1(t)?2时，
ess1?22??01?Kp1??
22?＝0Kv?
当r2(t)?2t时，
2ess2?22t2e??＝20r3(t)?t?2?ss3K0.12时，a当
0 ess
0?0?20＝20 ess
r?tr?2?2t?t3-11设随动系统的微分方程为
d2c(t)dc(t)T1??K2u(t)2dtdt
u(t)?K1[r(t)?b(t)] db(t)T2?b(t)?c(t)dt
其中，T１、Ｔ２和K２为正常数。若要求r(t)=1+ t时，c(t)对r(t)的稳态误差不大于正常
数ε０，试问K１应满足什么条件?
分析：先求出系统的误差传递函数，再利用稳态误差计算公式，根据题目要求确定参数。 解：对方程组进行拉普拉斯变换，可得
(T1s2?s)C(s)?K2U(s)
U(s)?K1[R(s)?B(s)]
按照上面三个公式画出系统的结构图如下：
(T2s?1)B(s)?C(s)
R k1 B u k2s(T1s?1)C 1T2s?1
定义误差函数E(s)?R(s)?C(s)
K1K2s(T1s?1)E(s)R(s)?C(s)C(s)?e(s)???1??1??(s)?1?K1K2R(s)R(s)R(s)1?s(T1s?1)(T2s?1) 所以
K1K2T2s?K1K2?1?32TT12s?(T1?T2)s?s?K1K2
K1K2T2s?K1K211ess?limsE(s)?lims?e(s)R(s)?lims[1?](?2)32s?0s?0s?0TTs?(T?T)s?s?KKss 1212121?K1K2T2?K1K2
1?K1K2T211ess???0k1?k1?K1K2k2(?o?T2)，因此，当k2(?o?T2)时，满足条件。令，可得
第 四 章
4-4 设单位反馈控制系统开环传递函数如下，试概略绘出相应的闭环根轨迹图(要求确定分离点坐标d)：
KK(s?1)G(s)?s(0.2s?1)(0.5s?1) （2）s(2s?1) (1)
KK*G(s)??s(0.2s?1)(0.5s?1)s(s?2)(s?5)，K*?10K 解：(1)
G(s)?① n＝3，根轨迹有3条分支；
② 起点：p1＝0，p2＝-2，p3＝-5；没有零点，终点：3条根轨迹趋向于无穷远处。 ③ 实轴上的根轨迹：[-2,0],(??,?5];
0?2?57(2K?1)?????a???,?33，33； ④ 渐进线：
111???0⑤ 分离点：dd?2d?5
求解得：d1??3.79（舍去），d2??0.88；
?a?作出根轨迹如图所示：
G(s)?(2)
① n＝2，根轨迹有2条分支；
K(s?1)K(s?1)?s(2s?1)s(s?0.5)，K*?0.5K
z1??1，n?m?1条根轨迹趋向于无穷远处。
*② 起点：p1＝0，p2＝-0.5，；终点：
③ 实轴上的根轨迹：[-0.5,0],(??,?1];
111??④ 分离点：dd?0.5d?1
d??0.29，d2??1.707；
求解得：1作出根轨迹如图所示：
4-6 设单位反馈控制系统的开环传递函数如下，要求：
K?(s?z)G(s)?2s(s?10)(s?20) 产生纯虚根为±ｊ1的ｚ值和K?值。 确定
2*432**D(s)?s(s?10)(s?20)?K(s?z)?s?30s?200s?Ks?Kz?0 解：
令s?j代入D(s)?0，并令其实部、虚部分别为零，即：
Re[D(j1)]?1?200?K*z?0，Im[D(j1)]??30?K*?0
*K?30,z?6.63 解得：
画出根轨迹如图所示：
4-10 设单位反馈控制系统的开环传递函数
G(s)? 要求：
(1) 画出准确根轨迹(至少校验三点)； (2) 确定系统的临界稳定开环增益Kｃ； (3) 确定与系统临界阻尼比相应的开环增益K。
Ks(0.01s?1)(0.02s?1)
分析：利用解析法，采用逐个描点的方法画出系统闭环根轨迹。然后将s?j?代入特征方程中，求解纯虚根的开环增益，或是利用劳斯判据求解临界稳定的开环增益。对于临界阻尼比相应的开环增益即为实轴上的分离点对应的开环增益。
G(s)?解：（1）① n＝3，根轨迹有3条分支,且均趋于无穷远处； ② 实轴上的根轨迹：[-50,0],(??,?100];
5000Ks(s?50)(s?100)
?50?100(2k?1)????,???50?a?33； 3③ 渐进线：，
111??④ 分离点：dd?50d?100
d??21.3，d2??78.8（舍去）
求解得：1；
?a?作出根轨迹如图所示：
相关推荐：
loading