.
当x=﹣lna时，f（x）取得极小值为f（﹣lna）=lna， 函数f（x）有且仅有一个极小值点x=﹣lna，
所以当a≤0时，f（x）没有极值点，当a＞0时，f（x）有一个极小值点． （Ⅱ）命题“?x∈[0，+∞），f（x）≥kg（x）”是假命题， 则“?x∈[0，+∞），f（x）＜kg（x）”是真命题， 即不等式f（x）＜kg（x）在区间[0，+∞）内有解．
若a=1，则设F（x）=f（x）﹣kg（x）=e+kln（x+1）﹣（k+1）x﹣1， 所以设则
﹣（k+1）， ﹣（k+1），
，且h'（x）是增函数，
x
所以h'（x）≥h'（0）=1﹣k 当k≤1时，h'（x）≥0，
所以h（x）在[0，+∞）上是增函数，h（x）≥h（0）=0，即F'（x）≥0， 所以F（x）在[0，+∞）上是增函数，
所以F（x）≥F（0）=0，即f（x）≥kg（x）在x∈[0，+∞）上恒成立． 当k＞1时，因为
因为h'（0）=1﹣k＜0，h'（k﹣1）=
所以h'（x）在（0，k﹣1）上存在唯一零点x0，
当x∈[0，x0）时，h'（x）＜h'（x0）=0，h（x）在[0，x0）上单调递减， 从而h（x）≤h（0）=0，即F'（x）≤0，所以F（x）在[0，x0）上单调递减， 所以当x∈（0，x0）时，F（x）＜F（0）=0，即f（x）＜kg（x）． 所以不等式f（x）＜kg（x）在区间[0，+∞）内有解 综上所述，实数k的取值范围为（1，+∞）．
21．已知椭圆C：
，点P是椭圆C上任意一点，且点M满足
（λ＞1，λ是常数）．当
在[0，+∞）是增函数，
，
点P在椭圆C上运动时，点M形成的曲线为Cλ． （Ⅰ）求曲线Cλ的轨迹方程；
（Ⅱ）过曲线Cλ上点M做椭圆C的两条切线MA和MB，切点分别为A，B． ①若切点A的坐标为（x1，y1），求切线MA的方程；
②当点M运动时，是否存在定圆恒与直线AB相切？若存在，求圆的方程；若不存在，请说明理由． 【考点】K4：椭圆的简单性质．
.
.
【分析】（Ⅰ）设点M的坐标为（x，y），对应的点P的坐标为．
由于点P在椭圆C上，得
（Ⅱ）①当过点A切线的斜率存在时，
，即得曲线Cλ的轨迹方程．
设该切线的方程为y﹣y1=k（x﹣x1），联立方程组，
由△=0，得，得；得过点A的切线方程为
过点A切线的斜率不存在时，符合方程②存在定圆恒与直线AB相切； 可得A，B两点坐标都满足方程
．
，且点M的坐标为（m，n）满足曲线Cλ的方程：，
即原定O到直线AB的距离为，即直线AB始终与圆相切．
【解答】解：（Ⅰ）设点M的坐标为（x，y），对应的点P的坐标为．
由于点P在椭圆C上，得，
即曲线Cλ的轨迹是椭圆，标准方程为（Ⅱ）①当过点A切线的斜率存在时，
设该切线的方程为y﹣y1=k（x﹣x1），即y=kx+（y1﹣kx1）
联立方程组，
即由△=0，得即
，
，
，
．
，得；
.
.
此时过点A的切线方程为
过点A切线的斜率不存在时，切点为（±2，0），方程为x=±2， 符合方程
形式．
②存在定圆恒与直线AB相切；
设切点B（x2，y2），与A，B两点对应的点M的坐标设为（m，n）； 同理过点B的切线方程为
同时两条切线MA和MB都过点M（m，n），所以．
即A，B两点坐标都满足方程，
，
且点M的坐标为（m，n）满足曲线Cλ的方程：
即原定O到直线AB的距离为，
所以直线AB始终与圆
相切．
.
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