固体物理课堂测验答案

固体物理课堂测验

一、对于体心立方晶格，（1）试证体心立方晶格的倒格子是面心立 方；（2）求密勒指数为（h,k,l）的晶面系的面间距。

解：(1)体心立方晶格原胞的三个基矢：

a???a???a??????a1?(i?j?k)，a2?(?i?j?k)，a3?(i?j?k)，

222???a2?a32???可得其倒格基矢为 b1?2?????(i?j)，

a1?(a2?a3)a??????a3?a1a1?a22???2???b2?2?????(j?k)，b3?2?????(k?i)

a1?(a2?a3)aa1?(a2?a3)a???设与晶轴平行的单位矢量分别为i,j,k，体心立方正格子的原胞基矢可取为

a??a??a????? a1?(i?j)，a2?(j?k)，a3?(k?i)，

222以上三式与体心立方的倒格基矢相比较，两者只相差一常数公因子，这说明体

心立方的倒格子是面心立方。 （2）密勒指数为（h,k,l）的晶面系的法线：

???????2?Ghkl?hb1?kb2?lb3?[(h?l)i?(h?k)j?(k?l)k]

a2?面间距：d???Ghkla(h?l)?(h?k)?(k?l)222

二、某惰性气体元素的晶体具有面心立方晶格结构，总的势能为

U(r)?1??N(4?)[A12()12?A6()6]， 2rr

其中A6?14.45，A12?12.13。试求平衡时的：1）相邻原子间的距离；2） 体弹性模量；3）结合能。

解：1）由

dU(r)1?12??6????N(4?)?A1213?A67??0，

drr?r02rr?r?r0??2A12得平衡时的相邻原子间的距离为r0????A?6????1/6?1.09?

d2U 2）体弹性模量K?VdV2V?V0524?A675??332?3 ?A12?2A6 3）结合能W??U(r0)?N??8.6N?

2A12三、设晶体中每个振子的零点振动能??，试用德拜模型求晶体的零点振动能。

解：由于三维晶体中，对于一定波数q，有一个纵波和两个横波，它们的色散关系都是??cq，因此纵波和横波的频率分布函数都相同，即：

12g0(?)??2??3?VdSVdSVVV2??dS?4?q??23?3?3232?c?q?(q)?2??d?dq?2??c?2??c3V2?。 2?2c34所以总频率分布函数为 g(?)?3g0(?)?晶格振动的零点能为 U0???m0?m3V??m13V13 g?????d?????d??02?2c32216?2c3由德拜模型可知3N??g???d???0?m?m0V?m3V2?d??，解得截止频率为 23232?c2?c3 ?m??N?c?6?2??V???????13，从而晶格振动的零点能为

3V?4?2?N??c?6???? U0?2316?c?V???43?N???V(144?)3???V?243

3V??m由c?得U0?16?22?N?6????V?3?m34?N?6?2???V??9N??

m8?m3四、绝对温度T?0时，求含N个电子的自由电子费米气系统的动能。

解：T＝0时，N个自由电子的总动能为U0＝2?k?kf?2k2 2m因子2是因为每一K态可容纳二个自旋相反的电子，Kf为费米波矢， 波矢空间k点“密度”=

2VU0?8?3V， 体积V内电子的总动能 8?3kfk?kf??2k2?2dτ=32m8?m?04?k4dk

251?kf=2 另一方面，在费米球内所允许的电子总数为 ?10m N＝2×（·=

2 即 Kf3V=3?2N 代入上式

得： U0=N

?2kf3=NEf Ef: 费米能 52m

五、二维正方晶格结构晶体的s 态电子的能带为

Es(k)??s?A?2B(cosakx?cosaky)

式中?s，A，B可视为常数，求：1. k态电子的速度；2.在带顶和带底的电子的有效质量。

??12aB解：1.电子的速度为：v(k)???Es(k)??sinakxi?sinakyj? k???2?2?2?2*2. 电子的有效质量为：m?2?2，myy?2?2。

?E2aBcosakx?E2aBcosaky22?kx?ky*xx?2所以，在能带底附近：kx?ky?0，m?m?2；

*xx*yy在能带顶附近：

(kx,ky,kz)?(????a，a)，2aB*?m*xxyy???2m2a2B