所以 的极大值点为 ，没有极小值点。 ② 当 时，由（1）知 ， 所以 随 的变化情况如下表：
↗ 极大值 ↘ 极小值 ↗
所以 的极大值点为 ，极小值点为 。
综上所述，当 时， 有一个极大值点 ，没有极小值点； 当 时， 有一个极大值点 ，一个极小值点 。 13.【2102高考福建文22】（本小题满分14分） 已知函数 且在 上的最大值为 ， （1）求函数f(x)的解析式；
(2)判断函数f(x)在（0，π）内的零点个数，并加以证明。 考点：导数，函数与方程。 难度：难。
分析：本题考查的知识点为导数的计算，利用函数与方程的思想解决根个数的问题。 解答：
（I） 在 上恒成立，且能取到等号 在 上恒成立，且能取到等号
在 上单调递增 （lfxlby） （II）
①当 时， 在 上单调递增 在 上有唯一零点
②当 时， 当 上单调递减 存在唯一 使
得： 在 上单调递增， 上单调递减
得： 时， ，
时， ， 在 上有唯一零点
由①②得：函数 在 内有两个零点。 14.【2012高考四川文22】(本小题满分14分)
已知 为正实数， 为自然数，抛物线 与 轴正半轴相交于点 ，设 为该抛物线在点 处的切线在 轴上的截距。 （Ⅰ）用 和 表示 ；
（Ⅱ）求对所有 都有 成立的 的最小值； （Ⅲ）当 时，比较 与 的大小，并说明理由。
命题立意：本题主要考查导数的应用、不等式、数列等基础知识，考查基本运算能力、逻辑推理能力、分析问题与解决问题的能力和创新意识，考查函数与方程、数形结合、分类讨论、
化归与转化由特殊到一般等数学思想
[解析]（1）由已知得，交点A的坐标为 ，对 则抛物线在点A处的切线方程为： ………………4分
（2）由（1）知f(n)= ,则 即知， 对于所有的n成立， 特别地，当n=1时，得到a≥3 当a=3，n≥1时，
当n=0时， =2n+1.故a=3时 对所有自然数n均成立.
所以满足条件的a的最小值为3. ………………………………………………8分 （3）由（1）知f(k)= 下面证明：
首先证明0 设函数g(x)=6x(x2-x)+1,0 故g（x）在区间（0，1）上的最小值 所以，当0 [点评]本小题属于高档题，难度较大，需要考生具备扎实的数学基础和解决数学问题的能力.主要考查了导数的应用、不等式、数列等基础知识；考查了思维能力、运算能力、分析问题与解决问题的能力和创新意识能力；且又深层次的考查了函数、转换与化归、特殊与一般等数学思维方法。 15.【2012高考湖南文22】本小题满分13分） 已知函数f(x)=ex-ax，其中a＞0. （1）若对一切x∈R，f(x) 1恒成立，求a的取值集合；[z （2)在函数f(x)的图像上去定点A（x1, f(x1)）,B(x2, f(x2))(x1 当 时 单调递减；当 时 单调递增，故当 时， 取最小值 于是对一切 恒成立，当且仅当 . ① 令 则 当 时， 单调递增；当 时， 单调递减. 故当 时， 取最大值 .因此，当且仅当 时，①式成立. 综上所述， 的取值集合为 . （Ⅱ）由题意知， 令 则 令 ，则 . 当 时， 单调递减；当 时， 单调递增. 故当 ， 即 从而 ， 又 所以 因为函数 在区间 上的图像是连续不断的一条曲线，所以存在 使 即 成立. 【解析】 【点评】本题考查利用导函数研究函数单调性、最值、不等式恒成立问题等，考查运算能力，考查分类讨论思想、函数与方程思想等数学方法.第一问利用导函数法求出 取最小值 对一切x∈R，f(x) 1恒成立转化为 从而得出求a的取值集合；第二问在假设存在的情况下进行推理，然后把问题归结为一个方程是否存在解的问题，通过构造函数，研究这个函数的性质进行分析判断. 16.【2012高考新课标文21】（本小题满分12分） 设函数f(x)= ex－ax－2 (Ⅰ)求f(x)的单调区间 (Ⅱ)若a=1，k为整数，且当x>0时，(x－k) f′(x)+x+1>0，求k的最大值 【答案】 17.【2012高考重庆文17】（本小题满分13分）已知函数 在 处取得极值为 （1）求a、b的值；（2）若 有极大值28，求 在 上的最大值． 【解析】（Ⅰ）因 故 由于 在点 处取得极值 故有 即 ，化简得 解得 （Ⅱ）由（Ⅰ）知 ， 令 ，得 当 时， 故 在 上为增函数； 当 时， 故 在 上为减函数 当 时 ，故 在 上为增函数。 由此可知 在 处取得极大值 ， 在 处取得极小值 由题设条件知 得 此时 ， 因此的最小值为 18.【2012高考湖北文22】（本小题满分14分） 设函数 ，n为正整数，a,b为常数，曲线y=f(x)在（1，f(1)）处的切线方程为x+y=1. （1）求a,b的值； （2）求函数f(x)的最大值 （3）证明：f(x)< . 解：（Ⅰ）因为 ，由点 在 上，可得 ，即 . 因为 ，所以 . 又因为切线 的斜率为 ，所以 ，即 . 故 ， . （Ⅱ）由（Ⅰ）知， ， . 令 ，解得 ，即 在 上有唯一零点 . 在 上， ，故 单调递增； 而在 上， ， 单调递减. 故 在 上的最大值为 . （Ⅲ）令 ，则 . 在 上， ，故 单调递减； 而在 上 ， 单调递增. 故 在 上的最小值为 . 所以 ， 即 . 上 令 ，得 ，即 ， 所以 ，即 . 由（Ⅱ）知， ，故所证不等式成立. 【解析】本题考查多项式函数的求导，导数的几何意义，导数判断函数的单调性，求解函数的最值以及证明不等式等的综合应用.考查转化与划归，分类讨论的数学思想以及运算求解的能力. 导数的几何意义一般用来求曲线的切线方程，导数的应用一般用来求解函数的极值，最值，证明不等式等. 来年需注意应用导数判断函数的极值以及求解极值，最值等；另外，要注意含有 等的函数求导的运算及其应用考查. 19.【2012高考安徽文17】（本小题满分12分） 设定义在（0，+ ）上的函数 （Ⅰ）求 的最小值； （Ⅱ）若曲线 在点 处的切线方程为 ，求 的值。 【解析】（I）（方法一） ， 当且仅当 时， 的最小值为 。 （II）由题意得： ， ① ， ② 由①②得： 。 20.【2012高考江西文21】（本小题满分14分） 已知函数f(x)=（ax2+bx+c）ex在 上单调递减且满足f(0)=1，f(1)=0. （1）求a的取值范围； （2）设g(x)= f(-x)- f′(x)，求g(x)在 上的最大值和最小值。 【解析】（1） ， ， 在 上恒成立(*) (*) （2） ①当 时， 在 上单调递增 得： ②当 时， 得： 在 上的最小值是 中的最小值 当 时， 当 时， 求最大值：当 时， 当 时， 得：当 时， ， 当 时， 时， ， 时， 21.【2012高考辽宁文21】(本小题满分12分) 设 ，证明： (Ⅰ)当x﹥1时， ﹤ （ ） (Ⅱ)当 时， 【命题意图】本题主要考查导数公式，以及利用导数，通过函数的单调性与最值来证明不等式，考查转化思想、推理论证能力、运算能力、应用所学知识解决问题的能力，难度较大。 【解析】(Ⅰ)(法1)记 = ， 则当 ＞1时， = ，
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