15.整式的乘除与因式分解

(人教版)数学八年级上册 第十五章整式的乘除与因式分解

生：??

（作业：P149习题6.7.） 四、板书设计（略）

课题：15.2.1平方差公式（第1课时） 一、教学目标

1.经历发现平方差公式的过程，会运用平方差公式进行计算. 2.培养概括能力，发展符号感. 二、教学重点和难点

1.重点：运用平方差公式进行计算.

2.难点：先交换项的位置，再运用平方差公式. 三、教学过程

（一）基本训练，巩固旧知 1.计算：

(1)(x+3)(x-3)= (2)(m+2)(m-2)= (3)(2x+1)(2x-1)=

（二）创设情境，导入新课

师：我们知道，整式的乘法有三种，哪三种？单项式乘单项式、单项式乘多项式、多项式乘多项式.在这几种整式乘法中，哪一种计算起来比较麻烦？ 生：（齐答）多项式乘多项式.

师：为什么多项式乘多项式比较麻烦？（稍停）因为多项式与多项式相乘，要用一个多项式的每一项去乘另一个多项式的每一项.

师：既然多项式乘多项式比较麻烦，我们自然会想到一个问题，什么问题？多项式乘多项式有没有简单一点的方法？或者说，有没有不需要一项一项乘的方法？（稍停）老师要告诉大家，对普通的两个多项式来说，没有简单的乘的方法，你只有老老实实地乘，一项一项地乘，但对某些特殊形式的多项式相乘，倒是有简单的方法，不需要一项一项乘.什么样的多项式相乘不需要一项一项乘？用简单方法又怎么相乘呢？这就是本节课我们要学习的内容. （三）尝试指导，讲授新课 （师出示下面的板书） (x+3)(x-3)=x2-9 (m+2)(m-2)=m2-4 (2x+1)(2x-1)=4x2-1 师：（指板书的式子）刚才大家做了这三个题目，从这三个题目，你能发现什么规律？（生思考，要给学生充足的思考时间） 师：（指板书的式子）如果你发现了其中的规律，那么做这种形式的多项式乘多项式，就不需要一项一项乘了.譬如，（板书：(y+4)(y-4)）不用一项一项乘，你能直接说出(y+4)(y-4)等于什么吗？

生：y2-16.（多让几名同学回答，然后师板书：=y2-16） 师：（板书：(a+b)(a-b)）又譬如，(a+b)(a-b)等于什么？ 生：a2-b2.（多让几名同学回答，然后师板书：=a2-b2）

师：看来大家是真的发现了规律，那谁又能用自己的话来说一说这个规律？

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(人教版)数学八年级上册 第十五章整式的乘除与因式分解

生??（多让几名同学说） 师：（指板书的式子）从这些等式我们发现了一个规律，什么规律？（指准(a+b)(a-b)=a2-b2）两个数的和乘以这两个数的差，等于这两个数的平方差. （师出示下面的板书）

两个数的和乘以这两个数的差，等于这两个数的平方差. 师：（指板书）请大家把这个结论读两遍.（生读） 师：（指准板书）显然这个结论与这个公式（在(a+b)(a-b)=a2-b2的外面加框）的意思是一样的，只是表达形式不一样，一个文字用表达，一个用式子表达. 师：（指准(a+b)(a-b)=a2-b2）这个公式还有一个专门的名字，因为公式的右边是两个数的平方差，所以我们把这个公式叫做平方差公式（板书：平方差公式）. 师：（指准(a+b)(a-b)=a2-b2）有了平方差公式，以后再碰到两个数的和乘以这两个数的差这样的多项式乘多项式，我们就不需要一项一项乘了，只要用平方差公式就行了.

师：下面我们就来做几道用平方差公式计算的题目. （师出示例题）

例 运用平方差公式计算： (1)(3x+2)(3x-2)； (2)(-x-2y)(-x+2y)； (3)(b+2a)(2a-b)； (4)(x-4)(-x-4). 师：（板书：解：(1)(3x+2)(3x-2)，并指准）怎么运用平方差公式计算这个式子呢？

（师出示下图）

(3x+2)(3x-2)=(3x)2-22

(a +b)( a-b)= a2 -b2

师：（指准上图）我们可以把3x看成a，把2看成b，（指(3x+2)(3x-2)）这样这个式子可以看成是(a+b)(a-b).因为(a+b)(a-b)=a2-b2，所以(3x+2)(3x-2)= (3x)2-22（板书：=(3x)2-22）. 师：（指准式子）(3x)2-22等于什么？（稍停）等于9x2-4（板书：=9x2-4）. 师：下面我们来看第(2)小题（板书：(2)(-x-2y)(-x+2y)）. 师：（指准(-x-2y)(-x+2y)）用平方差公式，这个式子应该把什么看成a，把什么看成b？（稍停片刻） （师出示下图）

(-x-2y)(-x+2y)=(-x)2-(2y)2

( a- b)( a+ b)= a2 - b2

师：（指准上图）我们可以把-x看成a，把2y看成b，（指(-x-2y)(-x+2y)）这样这个式子可以看成是(a-b)(a+b).因为(a-b)(a+b)与(a+b)(a-b)相等，所以(a-b)(a+b)也等于a2-b2，所以(-x-2y)(-x+2y)=(-x)2-(2y)2（板书：=(-x)2-(2y)2）. 师：（指准式子）(-x)2-(2y)2等于什么？（稍停）等于x2-4y2（板书：=x2-4y2）. 师：下面我们来看第(3)小题（板书：(3)(b+2a)(2a-b)）. 师：（指式子）这个式子怎么用平方差公式计算？（让生思考一会儿）

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(人教版)数学八年级上册 第十五章整式的乘除与因式分解

师：（指准式子）这个式子好像不好直接用平方差公式，怎么办？（稍停）根据加法交换律，可以交换b与2a的位置，所以这个式子等于(2a+b)(2a-b)（板书：=(2a+b)(2a-b)）. 师：（指准(2a+b)(2a-b)）利用平方差公式，这个式子等于什么？（稍停）等于(2a)2-b2（板书：=(2a)2-b2）.

师：结果是4a2-b2（板书：=4a2-b2）.

师：下面我们再看第(4)小题（板书：(4)(x-4)(-x-4)）. 师：（指式子）第(4)小题也与第(3)小题一样，不能直接用平方差公式，需要交换两项的位置.怎么交换两项的位置使式子成为(a+b)(a-b)的样子呢？大家先自己试一试.

（生尝试，师巡视） 师：（指准(x-4)(-x-4)）我们把x与-4这两项交换位置，得到-4+x（板书：(-4+x)）,我们又把-x与-4这两项交换位置，得到-4-x（板书：(-4-x)）.根据加法交换律，x-4=-4+x，-x-4=-4-x，所以这两个式子相等（板书：=）. 师：（指准(-4+x)(-4-x)）利用平方差公式，这个式子等于(-4)2-x2（板书：=(-4)2-x2），结果为16-x2（板书：=16-x2）. （四）试探练习，回授调节 2.用平方差公式计算：

(1) (a+3b)(a-3b) (2) (1+2y)(1-2y) = = = = (3) (4x-5)(4x+5) (4) (?11+2m)(?-2m) 22 = =

= = 3.用平方差公式计算：

(1) (3b+a)(a-3b) (2) (3m-4n)(4n+3m) = = = = = =

(3) (3+2a)(-3+2a) (4) (7-2a)(-7-2a) = = = = = = 4.计算：

(y+2)(y-2)-(y-1)(y+5) = = = =

（4题订正时需要指出，(y+2)(y-2)可以用多项式乘多项式法则计算，也可以用平方差公式计算，因为用公式计算比较简单，所以我们选择用公式计算，而(y-1)(y+5)只能用多项式乘多项式法则计算）

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(人教版)数学八年级上册 第十五章整式的乘除与因式分解

（五）归纳小结，布置作业 师：（指准板书）本节课我们学习了平方差公式，对两数和乘以这两数差这种特殊形式的多项式乘法，我们可以利用平方差公式进行计算.比起用多项式乘多项式的法则进行计算，用平方差公式进行计算有什么好处？ 生：（齐答）简单.

（作业：P156习题1(1)(2)(3)(4),P153练习1.2(4)） 四、板书设计 (x+3)(x-3)=x-9 平方差公式 例 222(m+2)(m-2)=m-4 (a+b)(a-b)=a-b 2(2x+1)(2x-1)=4x-1 两个数的和乘以…… 2(y+4)(y-4)=y-16 2

课题：15.2.2完全平方公式（第1课时） 一、教学目标

1.经历推导完全平方公式的过程，会运用完全平方公式进行计算. 2.培养数学语言表达能力和运算能力，发展符号感. 二、教学重点和难点

1.重点：运用完全平方公式进行计算. 2.难点：完全平方公式的运用. 三、教学过程

（一）基本训练，巩固旧知

1.填空：两个数的和乘以这两个数的差，等于这两个数的 ，即 (a+b)(a-b)= ，这个公式叫做 公式. 2.用平方差公式计算

(1) (-m+5n)(-m-5n) (2) (3x-1)(3x+1) = = = =

(3) (y+3x)(3x-y) (4) (-2+ab)(2+ab) = = = = = = 3.判断正误：对的画“√”，错的画“×”. (1)(a-b)(a+b)=a2-b2； （ ） (2)(b+a)(a-b)=a2-b2； （ ） (3)(b+a)(-b+a)=a2-b2； （ ） (4)(b-a)(a+b)=a2-b2； （ ） (5)(a-b)(a-b)=a2-b2. （ ） （二）创设情境，导入新课 师：（板书：(a+b)(a-b)=a2-b2，并指准）上节课我们学习了平方差公式，对两个数的和乘以这两个数的差这种形式的式子，利用平方差公式计算，不需要一项一项地乘，比起用多项式乘多项式法则计算，要简单一些.现在，我们要进一步问：除了平方差公式，还有别的多项式乘多项式的公式吗？答案是肯定的.本节

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