证：
一方面，主法线的方程为
另一方面，过圆柱螺线作平面π与轴垂直，π的方程为
的直线显然与轴垂直相交，而其方程为
上任意一点，π与轴的交点为
，过与
这正是主法线的方程，故主法线和轴垂直相交。 证毕 4．在曲线
组成的新曲线的密切平面。 解：令
，则曲线的方程可表示为：
设的副法线向量为，则有
的副法线的正向取单位长，求其端点
根据题意，新曲线的方程可表示为
}
将
代入上式，整理后，得
于是新曲线
的密切平面为：
即：
5. 证明球面曲线的法平面通过球的中心。 证：设曲线
为球心在原点，半径为的球面上的曲线,其中为自然
参数。曲线(C)上任意一点P（P点的向径为）处的基本向量为，，。则有
上式两边关于求导，得
设为法平面上的点的向径，则曲线(C)上任意一点P处的法平面的向量方程为
根据(2)式
6. 证明过原点平行于圆柱螺线锥面证：
。
的副法线的直线的轨迹是
满足方程(3)，故法平面过原点。 证毕
设过原点
且与平行的直线上的点为
,则直线的方程为
化为参数方程，得
则有
这说明直线上的点
都在锥面
上。 证毕
7. 求下列曲线的曲率和挠率。
解: 对于曲线(1)
，
对于曲线(2)
8. 给定曲线
曲率和挠率；（3）验证伏雷内公式。 解: 对于给定曲线，有
，求（1）基本单位向量，，；（2）
其中，
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