数理方程第二版 课后习题答案

根据(5)(6)(8)式可得

，根据(6)(9)(10)式，可得

，又根据(6)式，得

另一方面，根据(4)(7)(8)(10)式，可得

从而，

9. 证明：如果曲线的所有切线都经过一个定点，则此曲线是直线。 证1：设曲线(C)的向量参数方程为：

，其中为自然参数。(C)上任意一

。

点P（P点的向径为）处的基本向量为，，。因为(C)在P点处的切线都经过一定点Q（Q点的向径设为），所以(1)

与共线，进而有

上式两端关于求导并利用Frenet公式，得： (2)

(2)式中的为(C)在P点处的曲率。又(2)式中，这是因为如果

，则同时与和共线，但这是不可能的，因为和是相互

，即(C)是直线。 证毕

正交的单位向量。从而根据(2)式有

证2：设曲线的方程为r?r(t)，因为曲线上任一点r的切线经过一定点r0，则

r?r0与r共线，但r?(r?r0)'，于是r?r0与(r?r0)'共线，从而

''即r?r0与一个常向量p平(r?r0)?(r?r0)'=0,由此可知r?r0具有固定的方向，

行，于是r?r0=?p,或r?r0??p，这说明曲线上的点r都在以p为方向向量，过点r0的直线上，所以曲线为直线。 证毕

10. 证明：如果曲线的所有密切平面都经过一个定点，则此曲线是平面曲线。 证：设曲线(C)的向量参数方程为：

，其中为自然参数。曲线(C)上任意

一点P（P点的向径为）处的基本向量为，，。因为我们只研究不含逗留点

的曲线（参见教科书P.31的脚注），即 而

，

即(C)上任何点的曲率

。

设(C)在P点处的密切平面都经过一个定点Q （Q点的向径设为），则(C)在P点处的密切平面上的一个向量，从而有 (1)

为

(1) 式两端关于求导并利用Frenet公式，得： (2)

(2)式中的为(C)在P点处的挠率。 由(2)式可知，

或者

但(3)

，因为如果

结合(1)式,可知与共线，于是

(3)式两端关于求导并利用Frenet公式，得： (4)

(4)式中的为(C)在P点处的曲率。因为，所以 ，结合(3)

知同时与和共线，但这是不可能的，因为和是相互正交的单位向量。

这个矛盾说明，于是由(2)式可知，只能，曲线(C) 是平面曲

线。 证毕

11. 证明：如果曲线的所有法平面都包含常向量，则此曲线是平面曲线。 证1： 设曲线(C)的向量参数方程为：

，其中为自然参数。(C)上任意一

点P（P点的向径为）处的基本向量为，，。因为(C)在P点处的法平面都包含常向量，则有 (1) 注意到(2)

，(1)式两端关于从到求积分，得：

的平面上。 证毕

（2）式说明曲线(C)在以常向量为法向量且过点证2：设曲线(C)的向量参数方程为：

，其中为自然参数。(C)上任意一

点P（P点的向径为）处的基本向量为，，。因为我们只研究不含逗留点的

曲线（参见教科书P.31的脚注），即 而

，

即(C)上任何点的曲率

。

因为(C)在P点处的法平面都包含常向量，则 (1)

上式两端关于求导并利用Frenet公式，得： (2) 因为(3)

，所以

，

结合(1)式可知与共线，从而