(4)
(4)式两端关于求导并利用Frenet公式，得： (5)
(5)式中，否则，根据(3)式， 和 将同时成立，即既与
，所以曲线(C) 是平面曲线。
证毕
平行，又与垂直，这是矛盾。于是只能是
12. 证明曲率为常数的空间曲线的曲率中心的轨迹仍是曲率等于常数的曲线。 证：设曲率为常数的空间曲线(C)的向量参数方程为：
，其中为自然参
，又设(C)
数。(C)上任意一点P处的基本向量为，，，曲率半径为的曲率中心的轨迹为，的曲率记为，根据题意，的方程为
(1)式两边关于求导，得
(4)式说明的曲率也是常数且
13. 证明曲线(C)：所在平面的方程。
为平面曲线，并求出它
。 证毕
解：
由上式可知，(C)为平面曲线。 令
，则有
(C)所在平面的方程为
14. 设在两条曲线和
的点之间建立了一一对应关系，使它们在对应点的切线
。
平行， 证明它们在对应点的主法线以及副法线也分别平行。 证：设曲线的方程为为
，
，
，其中为的自然参数，曲线
的方程
，其中为曲线的自然参数。因为所讨论的曲线都是正则
上的点和区间
曲线，于是曲线上的点和区间内的参数一一对应，曲线
内的参数一一对应，如果两条曲线的点与之间建立了一一对应关系，则对应的参数与之间也建立了一一对应关系，从而
设
，
，和为曲线在点处的基本向量，
，
，和为曲线
在点处
的基本向量，曲线在点处的曲率和挠率分别记为和，曲线在点处的曲
率和挠率分别记为和。如果两条曲线总保持在对应点与处的切线平行，则有
，其中
(2)式两边关于求导，得
从而，
(4)式说明和(4)式，得
在对应点与处的主法线平行。又因为
，由(2)式和
(5) 式说明和
15. 设在两条曲线和
的点之间建立了一一对应关系，使它们在对应点的主法
在对应点与处的副法线平行。 证毕
线总是相互平行，证明它们在对应点的切线成固定角。 证：设曲线的方程为为
，
，
，其中为的自然参数，曲线
的方程
，其中为曲线的自然参数。因为所讨论的曲线都是正则
上的点和区间
曲线，于是曲线上的点和区间内的参数一一对应，曲线
内的参数一一对应，如果两条曲线的点与之间建立了一一对应关系，则对应的参数与之间也建立了一一对应关系，从而
设，，和为曲线在点处的基本向量，，，和为曲线在点处
的基本向量，曲线在点处的曲率和挠率分别记为和，曲线在点处的曲
率和挠率分别记为和，如果两条曲线总保持在对应点与处的主法线平行，则有
，其中
根据(2)式，可得
设与
之间的夹角为，则根据(3)式，
(4)式说明和
16. 如果曲线的主法线是曲线
其中是常数。
证：设曲线的方程为为
，
，
，其中为的自然参数，曲线
的方程
的副法线，的曲率和挠率分别为和，求证
在对应点与处的切线成固定角。 证毕
，其中为曲线的自然参数。因为所讨论的曲线都是正则
上的点和区间
曲线，于是曲线上的点和区间内的参数一一对应，曲线
内的参数一一对应，如果两条曲线的点与之间建立了一一对应关系，则对应的参数与之间也建立了一一对应关系，从而
设
，
，和为曲线在点处的基本向量，
，
，和为曲线
在点处
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