1 、设 X ~ N 2 ( ,
), 其中 X
( x1 , x 2 ),
( 1 ,
2 ),
2
1
1
,
则 Cov( x1
x 2 , x1 x 2 )=____.
10
2、设 X i ~ N 3 (
,
), i 1, L
,10, 则 W =
i 1
( X i)( X i)
服从 _________
。
4
3、设随机向量
X
x1
x2
x3 , 且协方差矩阵
4 3
4 9
3 2 ,
2 16
则它的相关矩阵
R ___________________
4、
设 X= x1 x2 x3 , 的相关系数矩阵通过因子分析分解为
1
1 2 3 3
R
1 2 3
0.934 0
3
1
0 1
0.417 0.894 0.835 0.447
0.934
0
0.417 0.835 0.894
0.128
0.027
0.447
0
0.103
2__________，
X1的方差
11
__________
，
X1的共性方差 h1
公因子 f 1对 X的贡献 g12
________________。
5、设 X i , i 1,L ,16 是来自多元正态总体
N p (
, ), X 和 A分别为正态总体
N p ( , )
的样本均值和样本离差矩阵 , 则
T 2 15[4( X )] A 1[4( X)] ~ ___________
。
16
(1,0, 2) ,4
2
4 4 1
2
1X
、设
( x1 , x2 , x3) ~ N3 ( , ),
其中
2 x3与
试判断 x1
x2x3
1 , 4
是否独立？
x1
2、对某地区农村的 6 名 2 周岁男婴的身高、胸围、上半臂围进行测量， 得相关数据如下 , 根据以往资料 , 该地区城市 2周岁男婴的这三个指标的
均值
0
(90,58,16) , 现欲在多元正态性的假定下检验该地区农村男婴是
否与城市男婴有相同的均值。
82.0
4.3107
14.6210 其中 X
60.2 ,(5 S ) 1
( 115.6924)
1
14.6210 3.172
14.5
8.9464
37.3760 ( 0.01, F 0.01 (3, 2)
99.2, F 0.01 (3,3) 29.5, F0.01 (3, 4)
16.7)
、设已知有两正态总体 G与 G，且 32 ， 4 ，
1 2
1
6 21 2
2
而其先验概率分别为
q
1
q2
0.5,误判的代价 4
C (2 1)
e ,C(1 2) e；
试用
Bayes判别法确定样本
X3 属于哪一个总体？
5
1
4、设
X
( X1 , X 2 , X3 , X 4 ) T
1
~ N4 (0, )
，协方差阵
1
1
(1) 试从Σ出发求 X 的第一总体主成分；
(2) 试问当取多大时才能使第一主成分的贡献率达 95％以上。
、设 5T
T 为标准化向量，令 且其协方差阵 X ( X1 , X 2 ) ,Y (Y1 , XZX2 )
Y ,
100 0 0 0
11
12 0 1 0.95 0 V( Z)
，
21
22
0 0.95 1 0 0
0 0
100
求其第一对典型相关变量和它们的典型相关系数？
、设随机向量 X的均值向量、协方差矩阵分别为 、 ,
试证： E ( XX )
。
8.9464 37. 3760 35.5936
1 1 ，
1 9
,01
1
2、设随机向量 X ~ N P ( , ), 又设 Y=Ar pX+br 1 ,
试证： Y
' 。
~ N r ( A b, A A ) 1、0 2 、 W3（10，∑） 3 、
12
3 R2
1 3 1 1
4
6 4、0.872 1 1.743
5、T2（ 15，p）或（ 15p/(16-p) ） F（ p， n-p ）
、令 x2 x3
则 1 y1
x1 , y2 x1 2x3 ,
yx2 x3
0 1 -1 x1
1
yx1
1 0 0 x
2
2
x
1 0 2 x
1 2x3
3
0 1
-1 1 2
E
y1 1 0
0
0 1
y2 2
1 0
2
3
y1 0 1 -1
16 4 2 0 1 -1 V
1 0 0
4 4 1 1 0 0 y2
1 0 2
2 1
4 1
0
2
10
6
16
6
16 20
16 20 40
2 10 6 16
故y1，y2的联合分布为 N3
( 1 ,
6
16 20 )
3 16 20 40
故不独立。
1
4 1
6
1
2、假设检验问题：
H 0 : ，
0
H1 :
0
8.0
经计算可得： X
0
2.2 ,
1.5
4.3107
14.6210 8.9464 S 1
(23.13848) 1 14.6210
3.172 37.3760
8.9464
37.3760
35.5936
构造检验统计量： T
2
n( X1)
0 ) S ( X 0
6 70.0741 420.445
F
0.01
(3,3)
29.5，由是
T02.01
3 5 F0.01 (3,3) 147.5
所以在显著性水平 3
下，拒绝原设
0.01
H 0
2周岁男婴上述三个
指标的均值有显著性差异
3、由 Bayes判别知
W ( x)
f1 (x) exp[( x
)T 1 ( f1
2 )] exp(4 x1
2 (x)
)
其中，
1 (
12
3
, ?
119 1
,( %1
2
4
8
1 1
d q2 C (1| 2)
e3 ,W ( x
3 ) exp(2) d
e3
q1C (2 |1)
5
X3
G
2
5
2x2
4)
%2)
264 22
4
由题目已知
即认为农村和城市的
1
、(1) 由
1
1
得特征根为
1 3 ,
1
1
1
1
2 3 4
1
x1 x2 x3 1 x4
解 1 所对应的方程
1
0
得 1 所对应的单位特征向量为
故得第一主成分
1 1
1 1 2 2
1
1 1
2 2 1
Z 2 X1 2 X 2
(2) 第一个主成分的贡献率为
1 3 1
2 X3 2 X 4
95%
1 2
3
4
4 0.933
得
0.95 4 1
3
5、由题得
－
2
1 －
＝ 0.1 0
1 －
222
＝ 1
0
1
12
1 22
0
1
1
0 0.1
TT ＝
T
11
－ 2
21 11
0.1 0 0
0 0
1 0 0 0.95 0.1 0 0
0
2
0 0
1 0.95 0 0 0.01 0
1 0.9025
0 0.9025
求 TT T的特征值，得 0
2 1
2
0.9025, 2 0
0
0
0.9025
1 0.95
TT T的单位正交化特征向量 0 0
1
0
1
0.9025 e1 0.9025e1,
1 1
112 e1
1 22
0.1
0
0 1
0
0
1
1 1
21 1
1 1 0.95 0 0 0 0.1 0
0.95 0 0 1
1 0
V1 X 2,W1 0.54Y1
为第一典型相关变量，且（ V1 ,W1） 0.95为一对典型相关系数。
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