人教版九年级数学下册知识点汇总

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第一章 直角三角形边的关系

1、正切：定义：在Rt△ABC中，锐角∠A的对边与邻边的比叫做∠A的正切，记作tanA，

即tanA=∠A的对边/∠A的邻边。

①tanA是一个完整的符号，它表示∠A的正切，记号里习惯省去角的符号“∠”； ②tanA没有单位，它表示一个比值，即直角三角形中∠A的对边与邻边的比； ③tanA不表示“tan”乘以“A”；

④tanA的值越大，梯子越陡，∠A越大；∠A越大，梯子越陡，tanA的值越大。（P1-6,11、P3-6、P4-12） 2、正弦：定义：在Rt△ABC中，锐角∠A的对边与斜边的比叫做∠A的正弦，记作sinA，

即sinA=∠A的对边/斜边；

3、余弦：定义：在Rt△ABC中，锐角∠A的邻边与斜边的比叫做∠A的余弦，记作cosA，

即cosA=∠A的邻边/斜边；

4、余切：定义：在Rt△ABC中，锐角∠A的邻边与对边的比叫做∠A的余切，记作cotA，

即cotA=∠A的邻边/∠A的对边；

5、一个锐角的正弦、余弦、正切、余切分别等于它的余角的余弦、正弦、余切、正切。（通常我们称正弦、余弦互为余函数。同样，也称正切、余切互为余函数，可以概括为：一个锐角的三角函数等于它的余角的余函数）用等式表达：

若∠A 为锐角，则①sinA = cos(90°?∠A）等等。 6、记住特殊角的三角函数值表0°，30°，45°，60°，90°。 （P4-13、P5-15,16、P10-11、P12-3）

1?题6：计算：????2??1??2?1?0??3 +

cot45??cos60??tan60?

cos30?

7、当角度在0°～90°间变化时，正弦值、正切值随着角度的增大(或减小)而增大(或减小)；余弦值、余切值随着角度的增大(或减小)而减小(或增大)。0≤sinα≤1，0≤cosα≤1。同角的三角函数间的关系：

tαnα·cotα=1，tanα=sinα/cosα，cotα=cosα/sinα，sin2α+cos2α=1

8、在△ABC中，∠C为直角，∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c，则有： （1）三边之间的关系：a2+b2=c2； （2)两锐角的关系：∠A＋∠B=90°； （3)边与角之间的关系：sinα等； （4）面积公式；

（5）直角三角形△ABC内接圆⊙O的半径为(a+b-c)/2； （6）直角三角形△ABC外接圆⊙O的半径为c/2。（P18-13、P16-例5、P19-15）

题7：小红的运动服被一个铁钉划破一个呈直角三角形的洞，其中两边分别为1 cm和2 cm，若用同色形布将此洞全部遮盖，那么这个圆的直径最小应等于( )。

A．2 cm

B．3 cm C．2 cm或3 cm

D．2 cm或5cm

题8：长为12 cm的铁丝，围成边长为连续整数的直角三角形，则斜边上的中线为________cm。

1

题9：如图2，河对岸有铁塔AB．在C处测得塔顶A的仰角为30°，向塔前进14米到达D，在D处测得A的仰角为45°，求铁塔AB的高。

图2

题10：已知：四边形ABCD中，∠B＝∠ADC＝90°，AB＝2、CD＝1、∠A＝60°，求：BC。

图3

第二章 二次函数

1、定义：一般地，如果y?ax?bx?c(a,b,c是常数，a?0)，那么y叫做x的二次函数。自变量的取值范围是全体实数。 2、二次函数y?ax的性质：

（1）抛物线y?ax的顶点是坐标原点，对称轴是y轴； （2）函数y?ax的图像与a的符号关系：

①当a?0时?抛物线开口向上?顶点为其最低点；

②当a?0时?抛物线开口向下?顶点为其最高点。

（3）顶点是坐标原点，对称轴是y轴的抛物线的解析式形式为y?ax（a?0）。（P21-12） 3、二次函数 y?ax?bx?c的图像是对称轴平行于（包括重合）y轴的抛物线。

24、二次函数y?ax?bx?c用配方法可化成：y?a?x?h??k的形式，

2222222b4ac?b2，k?其中h??。 2a4a5、二次函数由特殊到一般，可分为以下几种形式：

222①y?ax；②y?ax?k；③y?a?x?h?；④y?a?x?h??k；⑤y?ax?bx?c。 6、抛物线的三要素：开口方向、对称轴、顶点。

22 ①a的符号决定抛物线的开口方向：当a?0时，开口向上；当a?0时，开口向下；a相等，抛物线的开口大小、形状相同。

②平行于y轴（或重合）的直线记作x?h.特别地，y轴记作直线x?0。（P23-9,10） 7、顶点决定抛物线的位置。几个不同的二次函数，如果二次项系数a相同，那么抛物线的开口方向、开口大小完全相同，只是顶点的位置不同。 8、求抛物线的顶点、对称轴的方法

b4ac?b2b?4ac?b2?（?，） （1）公式法：y?ax?bx?c?a?x?，∴顶点是，对称??2a4a2a?4a?b轴是直线x??。（P26-9）

2a2 （2）配方法：运用配方的方法，将抛物线的解析式化为y?a?x?h??k的形式，得到顶点为(h,k)，对称轴是直线x?h。

222

（3）运用抛物线的对称性：由于抛物线是以对称轴为轴的轴对称图形，所以对称轴的连线的垂直平分线是抛物线的对称轴，对称轴与抛物线的交点是顶点。

注意：用配方法求得的顶点，再用公式法或对称性进行验证，才能做到万无一失。 题11：抛物线y＝x2＋6x＋4的顶点坐标是( ) A．(3，-5) B．(-3，-5) C．(3，5) D．(-3，5) 9、抛物线y?ax?bx?c中，a,b,c的作用（P29-例2,1,10） （1）a决定开口方向及开口大小，这与y?ax中的a完全一样。

（2）b和a共同决定抛物线对称轴的位置。由于抛物线y?ax?bx?c的对称轴是直线。

222bb

，故：①b?0时，对称轴为y轴；②?0（即a、b同号）时，对称轴在y轴2aab左侧；③?0（即a、b异号）时，对称轴在y轴右侧。

a2 （3）c的大小决定抛物线y?ax?bx?c与y轴交点的位置。

2 当x?0时，y?c，∴抛物线y?ax?bx?c与y轴有且只有一个交点（0，c）：

①c?0，抛物线经过原点； ②c?0,与y轴交于正半轴；③c?0,与y轴交于负半轴。

b 以上三点中，当结论和条件互换时，仍成立.如抛物线的对称轴在y轴右侧，则 ?0。

ax??10、几种特殊的二次函数的图像特征如下：

函数解析式 开口方向 对称轴 x?0（y轴） 顶点坐标 （0,0） (0, k) (h,0) (h,k) y?ax2 y?ax2?k y?a?x?h? 2y?a?x?h??k 2当a?0时 开口向上 当a?0时 开口向下 x?0（y轴） x?h x?h bx?? 2ay?ax?bx?c 2b4ac?b2，(?) 2a4a

11、用待定系数法求二次函数的解析式（P32-12、P34-7,8、P37-2,4、P42-1,2、P51-例、P54-16） （1）一般式：y?ax?bx?c。已知图像上三点或三对x、y的值，通常选择一般式。 （2）顶点式：y?a?x?h??k.已知图像的顶点或对称轴，通常选择顶点式。

22 （3）交点式：已知图像与x轴的交点坐标x1、x2，通常选用交点式：y?a?x?x1??x?x2?。 题12：已知关于x的一元二次方程x-2(m-1)x＋(m-1)＝0，有两个实数根x1、x2，且x1＋x2＝4．求m的值。

2

2

2

2

x2?5x?6?3??2??1?1?题13：先化简，再求值：???? ，其中x＝3 2x?1??x?3?3x?3x?

题14：在平面直角坐标系中，B(3＋1，0)，点A在第一象限内，且∠AOB＝60°，∠ABO＝45°。 (1)求点A的坐标；

(2)求过A、O、B三点的抛物线解析式；

(3)动点P从O点出发，以每秒2个单位的速度沿OA运动到点A止，①若△POB的面积为S，写出S与时间t(秒)的函数关系；②是否存在t，使△POB的外心在x轴上，若不存在，请你说明理由；若存在，请求出t的值。

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