高中物理竞赛的数学基础（自用）

在解析几何中，我们把一条直线与横坐标轴夹角的正切tanα叫做这条直线的斜率。斜率为正时表示α是锐角，从左到右直线是上坡的（见图A-7a）；斜率为负时表示α是钝角，从左到右直线是下坡的（见图A-7b）。现在我们来研究图A-6中割线P0P1和切线P0T的斜率。

设P0和P1的坐标分别为（x0，y0）和（x0+△x，y0+△y），以割线P0P1为斜边作一直角三角形△P0P1M，它的水平边P0M的长度为△x，竖直边MP1的长度为△y，因此这条割线的斜率为

如果图A-6中的曲线代表函数y=f（x），则割线P0P1的斜率就等于函数在

线P0P1斜率的极限值，即

所以导数的几何意义是切线的斜率。

§3．导数的运算

在上节里我们只给出了导数的定义，本节将给出以下一些公式和定理，利用它们可以把常见函数的导数求出来。

6

3．1基本函数的导数公式

（1）y＝f（x）＝C（常量）

（2）y=f（x）＝x

（3）y＝f（x）=x2

（4）y＝f（x）＝x3

7

上面推导的结果可以归纳成一个普遍公式：当y=xn时，

等等。利用（A．33）式我们还可以计算其它幂函数的导数（见表A-2）。 除了幂函数xn外，物理学中常见的基本函数还有三角函数、对数函数和指数函数。我们只给出这些函数的导数公式（见表A-2）而不推导，读者可以直接引用。

3．2有关导数运算的几个定理

定理一

证：

8

定理二

表A-2基本导数公式 函数y=f(x) 导数y′=f′(x)

c(任意常量) 0 xn(n为任意常量)

nxn-1 n=1,x 1 n=2,x2

2x n=3,x3

3x2

???? ???? sinx cosx cosx -sinx

lnx ex ex

定理三

定理四

9

例题1求y=x2±a2（a为常量）的导数。

例题3求y=ax（a为常量）的导数。

例题4求y=x2ex的导数。

2

例题6求y＝tanx的导数。

例题7求y＝cos（ax＋b）（a、b为常量）的导数。 解：令v＝ax＋b，y＝u（v）＝cosv，则

10