一次抽奖活动，超市设计了两种抽奖方案.
方案一：一个不透明的盒子中装有30个质地均匀且大小相同的小球，其中10个红球，20个白球，搅拌均匀后，顾客从中随机抽取一个球，若抽到红球则顾客获得60元的返金券，若抽到白球则获得20元的返金券，且顾客有放回地抽取3次.
方案二：一个不透明的盒子中装有30个质地均匀且大小相同的小球，其中10个红球，20个白球，搅拌均匀后，顾客从中随机抽取一个球，若抽到红球则顾客获得80元的返金券，若抽到白球则未中奖，且顾客有放回地抽取3次.现有两位顾客均获得抽奖机会，且都按方案一抽奖，试求这两位顾客均获得180元返金券的概率；若某顾客获得抽奖机会.
①试分别计算他选择两种抽奖方案最终获得返金券的数学期望；
②为了吸引顾客消费，让顾客获得更多金额的返金券，该超市应选择哪一种抽奖方案进行促销活动？ 18．（12分）在三角形ABC中，已知内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，a?32，b?3，
cosA?cos2B.求边c的长；若D为直线BC上的一点，且
uuuruuurCD?2BD，求
uuurAD.
?12x??t??22??y?2t?219．（12分）在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为?（t为参数），圆C的参数方
?x?2?2cos?????0,2??y?2sin?程为?（?为参数，），以坐标原点为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标
?1?M?,0?MA?MB系.写出直线l与圆C的极坐标方程；已知点?2?，直线l与圆C交于A,B两点，求的值
20．（12分）已知
?an?是递增的等差数列，a2，a4是方程
的根.求
?an?的通项公式；求数
?an??n?列?2?的前n项和.
21．（12分）如图，在多面体ABCDE中，?AEB为等边三角形，
AD//BC,BC?AB,CE?22,AB?BC?2AD?2,点F为边EB的中点.
求证:AF//平面DEC；求证:平面DEC?平面EBC；求直线AB与平面DEC所成角的正弦值.
1}S2?8a3?a8?2a5?2{an}SnanS22．（10分）已知等差数列的前n项和为，且，．求；设数列n的
{前n项和为Tn，求证：
Tn?34．
参考答案
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1、A 2、C 3、A 4、B 5、C 6、A 7、B 8、D 9、C 10、B 11、B 12、B
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。 13、(2018,e14、15、
2018)
16、6.
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17、 (1)【解析】 【分析】
(1)方案一中每一次摸到红球的概率为
，每名顾客有放回的抽3次获180元返金劵的概率为
(2)①
②第一种抽奖方案.
，根据相互独立事件的概率可知两顾客都获得180元返金劵的概率
(2)①分别计算方案一，方案二顾客获返金卷的期望，方案一列出分布列计算即可，方案二根据二项分布计算期望即可 ②根据①得出结论. 【详解】
（1）选择方案一，则每一次摸到红球的概率为设“每位顾客获得180元返金劵”为事件A，则所以两位顾客均获得180元返金劵的概率
（2）①若选择抽奖方案一，则每一次摸到红球的概率为，每一次摸到白球的概率为. 设获得返金劵金额为元，则可能的取值为60，100，140，180. 则
； ； ； .
所以选择抽奖方案一，该顾客获得返金劵金额的数学期望为
（元）
若选择抽奖方案二，设三次摸球的过程中，摸到红球的次数为，最终获得返金劵的金额为元，则
，故
所以选择抽奖方案二，该顾客获得返金劵金额的 数学期望为②即【点睛】
本题主要考查了古典概型，相互独立事件的概率，二项分布，期望，及概率知识在实际问题中的应用，属于中档题.
18、（1）c?3（2）35或5 【解析】 【分析】
（1）由a?32，b?3可得sinA?时可知A?90?，故可得边c的长；
（元）.
，所以该超市应选择第一种抽奖方案
2sinB，又cosA?cos2B，从而可得cos2B?0，即B?45?，同
uuuvuuuvuuuvuuuvuuuvuuuv（2）由CD?2BD，分两类情况CD?2BD，CD??2BD，结合平面向量数量积的运算即可得到结果.
【详解】
（1）方法一：∵a?32，b?3，∴sinA?2sinB ①.
又cosA?cos2B ②，所以①与②平方相加得2sin2B?cos22B?1， 即cos22B?cos2B?0，∴cos2B?0或cos2B?1.
又a?b，∴B为锐角，∴0?2B??，∴cos2B?0，B?45?. ∴sinA?2sinB?1，∴A?90?，所以?ABC为等腰直角三角形，∴c?b?3.
方法二：∵a?b，∴B为锐角，∴0?2B??，∵cosA?cos2B，∴A?2B. ∴sinA?sin2B?2sinBcosB，
（也可以直接由cosA?cos2B得1?cos2A?1?cos22B，即sin2A?sin22B）.
a2?c2?b2由正弦定理与余弦定理得：a?2b，
2ac又∵a?32，b?3，∴c2?6c?9?0，即c?3. （2）解法一：（i）当CD??2BD时，
uuuvuuuvuuuvuuuvuuuvuuuv2uuuvuuuv2uuuv2uuuv2uuuv1uuuvAD?AC?CD?AC?CB ?AC?AB?AC?AB?AC，
33333uuuvv2v1uuuv1uuuv24uuu2uuu∴AD?AB?2?AB?AC?AC?5；
9339（ii）当CD?2BD时，
uuuvuuuvuuuvuuuvuuuvuuuvuuuvuuuvuuuvuuuvuuuvuuuv AD?AC?CD?AC?2CB?AC?2AB?2AC?2AB?AC， uuuvuuuv2uuuvuuuvuuuv2∴AD?4AB?2?2AB?AC?AC?35. 解法二：（i）当CD??2BD时，在?ACD中，AC?3，CD?22，?ACD?45?，
uuuvuuuvuuuv∴AD?AC?CD?2AC?CDcos45? ?5?AD?5；
222（ii）当CD?2BD时，在?ACD中，AC?3，CD?62，?ACD?45?，
uuuvuuuvuuuv∴AD?AC?CD?2AC?CDcos45? ?45?AD?35. 222【点睛】
本题主要考查了正余弦定理，考查了三角恒等变换、平面向量的混合运算，考查计算能力与转化能力，属于中档题.
19、 (1) ?cos???sin??【解析】 【分析】
（1）消参数得直线l以及圆C的普通方程，再根据?cos??x,?sin??y,x?y??得直线l与圆C的极坐标方程；（2）联立直线与圆方程，再根据直线参数方程几何意义以及韦达定理得结果. 【详解】
222132;??4cos?.(2) . 22
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