5??y??x?3,?x?,551??2x?(,)， 解方程组?得 即直线PQ与对称轴为的交点坐标为?5222x?.?y?1.?2??2?∴
12582??a?2．解得 ??a??．??????????????15分 24252515. 如图，扇形OMN的半径为1，圆心角是90°．点B是MN上一动点，
BA⊥OM于点A，BC⊥ON于点C，点D、E、F、G分别是线段OA、AB、BC、CO的中点，GF与CE相交于点P，DE与AG相交于点Q．（1）求证：四边形EPGQ是平行四边形；（2）探索当OA的长为何值时，四边形EPGQ是矩形；（3）连结PQ，试说明3PQ2?OA2是定值． 解：（1）证明：如图①，
∵∠AOC=90°，BA⊥OM，BC⊥ON， ∴四边形OABC是矩形． ∴AB//OC,AB?OC． ∵E、G分别是AB、CO的中点， ∴AE//GC,AE?GC.
C
P G
Q
E
F
B
N
∴四边形AECG为平行四边形.
∴CE//AG. ???????????4分 O A M D 连接OB， 图① ∵点D、E、F、G分别是线段OA、AB、BC、CO的中点， ∴ GF∥OB，DE∥OB， ∴ PG∥EQ，
∴四边形EPGQ是平行四边形．??????????????????6分
（2）如图②，当∠CED=90°时，□EPGQ是矩形． 此时 ∠AED+∠CEB =90°．
N
又∵∠DAE=∠EBC =90°，∴∠AED=∠BCE．
F B C ∴△AED∽△BCE．????????????8分 ∴
ADAE?． BEBCP G
Q
O
D A 图②
M
E
xyy22设OA=x，AB=y，则∶=∶x，得y?2x．?10分
222222又 OA?AB?OB，即x?y?1．
222∴x?2x?1，解得x?223． 3∴当OA的长为
3时，四边形EPGQ是矩形．????????????12分 3（3）如图③，连结GE交PQ于O?，则O?P?O?Q,O?G?O?E.．过点P作OC的平行线
分别交BC、GE于点B?、A?．
PGPEGE2???, PFPCFC12111∴ PA?=A?B?=AB， GA?=GE=OA，
333311∴ A?O??GE?GA??OA．
26在Rt△PA?O?中，PO?2?PA?2?A?O?2，
由△PCF∽△PEG得，
NCGB'FPA'O'QEBPQ2AB2OA2AOD即 ， 又 AB2?OA2?1， ??4936图③
122∴ 3PQ?AB?，
314∴ OA2?3PQ2?OA2?(AB2?)?．??????????????18分
33
M三 2012年北京市初二数学竞赛试题 ．选择题(每小题5分，共25分)
．方程|2x－4|＝5的所有根的和等于( )． A．－0.5 B．4.5 C．5 D．4
．在直角坐标系xOy中，直线y＝ax＋24与两个坐标轴的正半轴形成的三角形的面积等于72，则不在直线y＝ax＋24上的点的坐标是( )． A．(3，12) B．(1，20) C．(－0.5，26) D．(－2.5，32) ．两个正数的算术平均数等于23，它们乘积的算术平方根等于3，则期中的大数比小数大( )．A．4 B．23 C．6 D．33 ．在△ABC中，M是AB的中点，N是BC边上一点，且CN＝2BN，连接AN与MC交于点O，四边形BMON的面积为14cm2，则△ABC的面积为( )． A．56cm2 B．60cm2 C．64cm2 D．68cm2
121??222．当a＝1.67，b＝1.71，c＝0.46时，a?ac?ab?bcb?ab?bc?acc?ac?bc?ab等于( )． A．20 B．15 C．10 D．5.55 ．填空题(每小题7分，共35分)
．计算：1×2－3×4＋5×6－7×8＋?＋2009×2010－2011×2012＝＿＿＿．
．由1到10这十个正整数按某个次序写成一行，记为a1，a2，?，a10，S1＝a1，S2＝a1＋a2，?，S10＝a1＋a2＋?＋a10，则在S1，S2，?，S10中，最多能有＿＿个质数． ．△ABC中，AB＝12cm，AC＝9cm，BC＝13cm，自A分别作∠C平分线的垂线，垂足为M，
S?AMN?S作∠B的平分线的垂线，垂足为N，连接MN，则?ABC＿＿＿＿． ．实数x和y满足x2＋12xy＋52y2－8y＋1＝0，则x2－y2＝＿＿＿．
．P为等边△ABC内一点，AP＝3cm，BP＝4cm，CP＝5cm，则四边形ABCP的面积等于＿＿cm2．
(满分10分)．求证：对任意两两不等的三个数a，b，c，(a?b?c)2(b?c?a)2(c?a?b)2??(a?c)(b?c)(b?a)(c?a)(c?b)(a?b)是常数．
(满分15分)．已知正整数n可以表示为2011个数字和相同的自然数之和，同时也能表示为2012个数字和相同的自然数之和，试确定n的最小值．
(满分15分)．如图，在△ABC中，∠ABC＝∠BAC＝70°，P为形内一点，∠PAB＝40°，∠PBA＝20°，求证：PA＋PB＝PC．
CPAB四 2012年全国初中数学竞赛（海南赛区）初 赛 试 卷 （本试卷共4页，满分120分，考试时间：3月11日8:30——10:30）
一、选择题（本大题满分50分，每小题5分） 1、下列运算正确的是（ ）
A．x?x=x B． 2x?3x=5x C．(x)=x D． x?x=x
2、有大小两种游艇，2艘大游艇与3艘小游艇一次可载游客57人，3艘大游艇与2艘小游艇一次可载游客68人，则3艘大游艇与6艘小游艇一次可载游客的人数为（ ） A．129 B．120 C．108 D．96 3、实数a＝20123－2012，下列各数中不能整除a的是（ ） A．2013 B．2012 C．2011 D．2010
4、如图1所示的两个圆盘中，指针落在每一个数所在的区域上的机会均等，则两个指针同时落在数“1”所在的区域上的概率是（ ）
2
3
6
2
23
6
6
2
3
图1 5、一辆公共汽车从车站开出，加速行驶一段时间后匀速行驶，过了一段时间，汽车到达下一个车站．乘客上下车后汽车开始加速，一段时间后又开始匀速行驶，下面可以近似地刻画出汽车在这段时间内的速度变化情况的图象是（ ） 速度 速度 速度 速度
O O O O 时间 时间 时间 时间
A D B C
6、要使3?x?1有意义，则x的取值范围为
2x?112624A． B． C． D．
252525252 1 5 3 4 2 5 3 4 1 111A．1?x? 3 B．＜x? 3 C．?x＜3 D． ＜x＜3
2222 A D B
F 图2
E C
7、菱形的两条对角线之和为L、面积为S，则它的边长为（ ）
A．1L2?4S B．1L2?2S C．12L?4S D．14S?L2
2222
8、如图2，将三角形纸片ABC沿DE折叠，使点A落在BC边上的点F处， 且DE∥BC，下列结论中，一定正确的个数是（ ）
①△CEF是等腰三角形 ②四边形ADFE是菱形
y ③四边形BFED是平行四边形 ④∠BDF+∠CEF＝2∠A A．1 B．2 C．3 D．4 1 2
x 9、如图3，直线x＝1是二次函数 y＝ax＋bx＋c的图象的对称轴，则有( ) A．a＋b＋c＝0 B．b＞a＋c C．b＝2a D．abc＞0
图3 10、铁板甲形状为直角梯形，两底边长分别为4cm，10cm，且有一内角为60°；铁板乙形
状为等腰三角形，其顶角为45°，腰长12cm ．在不改变形状的前提下，试图分别把它们从一个直径为8.5cm的圆洞中穿过，结果是（ ）
A．甲板能穿过，乙板不能穿过 B．甲板不能穿过，乙板能穿过 C．甲、乙两板都能穿过 D．甲、乙两板都不能穿过
y 二、填空题（本大题满分40分，每小题5分）
o x 11、x与y互为相反数，且x?y?3，那么x2?2xy?1的值为__________.
－1 12、一次函数y=ax+b的图象如图4所示，则化简a?b?b?1得________.
图4 13、若x=－1是关于x的方程a2x2+2011ax－2012=0的一个根，则a的值为__________. 14、一只船从A码头顺水航行到B码头用6小时，由B码头逆水航行到A码头需8小时，则一块塑料泡沫从A码头顺水漂流到B码头要用______小时（设水流速度和船在静水中的速度不变）． 15、如图5，边长为1的正方形ABCD的对角线相交于点O，过点O的直线分别交AD、BC于E、F，则阴影部分的面积是 ．
16、如图6，直线l平行于射线AM，要在直线l与射线AM上各找一点B和C，使得以A、B、C为顶点的三角形是等腰直角三角形，这样的三角形最多能画_______个．
A E A D l E
O B C
M A B D F C
图5 图6 图7 ________. 17、如图7，△ABC与△CDE均是等边三角形，若∠AEB=145°，则∠DBE的度数是
C G D 18、如图8所示，矩形纸片ABCD中，AB＝4cm，BC＝3cm， 把∠B、∠D分别沿CE、AG翻折，点B、D分别落在对角线 B＇ D＇ AC的点B＇和D＇上，则线段EG的长度是________.
B A E 三、解答题(本大题满分30分，每小题15分) 图8 19、某市道路改造工程，如果让甲工程队单独工作，需要30天完成，如果让乙工程队单独
工作，则需要60天方可完成；甲工程队施工每天需付施工费2.5万元，乙工程队施工每天需付施工费1万元.请解答下列问题：
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