课堂练习(十一) 等比数列的性质
(建议用时：60分钟)
[基础达标练]
一、选择题
1
1．已知等比数列{an}，a1＝1，a3＝，则a5等于( )
91111A．± B．－ C. D．±
8181812
a213
C [根据等比数列的性质可知a1a5＝a?a5＝＝.]
a181
23
2．在等比数列{an}中，a1＋a2＋a3＝2，a4＋a5＋a6＝4，则a10＋a11＋a12等于( ) A．32 B．16 C．12 B [D．8
a4＋a5＋a634
＝q＝＝2，
a1＋a2＋a32
9
3
4
∴a10＋a11＋a12＝(a1＋a2＋a3)q＝2·(2)＝2＝16.]
3．已知等比数列{an}中，an>0，a1，a99是方程x－10x＋16＝0的两根，则a40a50a60的值为( )
A．32 B．64 C．256 D．±64 B [由题意得，a1a99＝16， ∴a40a60＝a50＝a1a99＝16， 又∵a50>0，∴a50＝4， ∴a40a50a60＝16×4＝64.]
4．设{an}是公比为q的等比数列，令bn＝an＋1，n∈N，若数列{bn}的连续四项在集合{－53，－23,17,37,82}中，则q等于( )
4A．－
332C．－或－ 23
3
B．－
234D．－或－ 43
*
2
2
C [即an的连续四项在集合{－54，－24,16,36,81}中，由题意知，这四项可选择－54,36，23
－24,16，此时，q＝－，若选择16，－24,36，－54，则q＝－.]
32
1m22
5．已知方程(x－mx＋2)(x－nx＋2)＝0的四个根组成以为首项的等比数列，则等于
2n( )
3
A. 2
32B.或 23
2C. 3
D．以上都不对
1192
B [不妨设是x－mx＋2＝0的根，则其另一根为4，∴m＝4＋＝，
222对方程x－nx＋2＝0，设其根为x1，x2(x1 ∴等比数列为，x1，x2,4， 243 ∴q＝＝8，∴q＝2， 12∴x1＝1，x2＝2， ∴n＝x1＋x2＝1＋2＝3， 2 m93∴＝＝. n2×32 1m22 同理，若x＝是方程x－nx＋2＝0的根，计算得出＝.] 2n3二、填空题 6．在等比数列{an}中，a3＝16，a1a2a3…a10＝2，则a7等于________． 256 [因为a1a2a3…a10＝(a3a8)＝2， 所以a3a8＝2，又因为a3＝16＝2，所以a8＝2＝512. 因为a8＝a3·q，所以q＝2，所以a7＝＝256.] 7.在如图所示表格中，每格填上一个数字后，使每一横行成等差数列，每纵列成等比数列，则x＋y＋z的值为________． 513 4 9 5 65 65 a8 q x2 2 [∵＝，∴x＝1. 24 ∵第一行中的数成等差数列，首项为2，公差为1，故后两格中数字分别为5,6. 同理，第二行后两格中数字分别为2.5,3. ?1?3?1?4 ∴y＝5·??，z＝6·??， ?2??2? ?1?3?1?432 ∴x＋y＋z＝1＋5·??＋6·??＝＝2.] ?2??2?16 8．某单位某年十二月份的产值是同年一月份产值的m倍，那么该单位此年的月平均增长 率是________． 11 m－1 [由题意可知，这一年中的每一个月的产值成等比数列，求月平均增长率只需利 用 a1211 ＝m，所以月平均增长率为m－1.] a1 三、解答题 9．在等比数列{an}中，a2－a1＝2，且2a2为3a1和a3的等差中项，求数列{an}的首项、公 比． [解] 设该数列的公比为q. ??a1q－a1＝2， 由已知，得?2 ??4a1q＝3a1＋a1q，??a1?q－1?＝2， 所以?2 ??q－4q＋3＝0， ??a1＝1， 解得? ??q＝3， (q＝1舍去)， 故首项a1＝1，公比q＝3. 511 10．已知数列{an}中，a1＝1，an＋1＝－，bn＝，求数列{bn}的通项公式． 2anan－251an－212an42 [解] an＋1－2＝－－2＝，＝＝＋2，即bn＋1＝4bn＋2，bn＋1＋＝2an2anan＋1－2an－2an－232??4?bn＋?. 3?? 又a1＝1，故b1＝ 1 ＝－1， a1－2 n－1 ?2?12142n－1 所以?bn＋?是首项为－，公比为4的等比数列，所以bn＋＝－×4，bn＝－－. 3?33333? [能力提升练] 1．等比数列{an}是递减数列，前n项的积为Tn，若T13＝4T9，则a8a15＝( ) A．±2 B．±4 C．2 D．4 C [∵T13＝4T9， ∴a1a2…a9a10a11a12a13＝4a1a2…a9， ∴a10a11a12a13＝4. 又∵a10·a13＝a11·a12＝a8·a15， ∴(a8·a15)＝4，∴a8a15＝±2. 又∵{an}为递减数列，∴q>0，∴a8a15＝2.] 2．公差不为零的等差数列{an}中，2a3－a7＋2a11＝0，数列{bn}是等比数列，且b7＝a7，则 2 2 b6b8＝( ) A．16 B．14 C．4 D．49 A [∵2a3－a7＋2a11＝2(a3＋a11)－a7＝4a7－a7＝0， ∵b7＝a7≠0，∴b7＝a7＝4，∴b6b8＝b7＝16.] 3．在等比数列{an}中，若a7＝－2，则此数列的前13项之积等于________． －2 [由于{an}是等比数列， ∴a1a13＝a2a12＝a3a11＝a4a10＝a5a9＝a6a8＝a7， ∴a1a2a3…a13＝(a7)·a7＝a7， ∵a7＝－2， ∴a1a2a3…a13＝(－2)＝－2.] 4．已知－7，a1，a2，－1四个实数成等差数列，－4，b1，b2，b3，－1五个实数成等比数列，则 13 13 26 13 2 13 2 222 a2－a1 ＝________. b2 －1－?－7?2 －1 [由题意，知a2－a1＝＝2，b2＝(－4)×(－1)＝4.又因为b2是等比数列中 3的第三项，所以b2与第一项同号，即b2＝－2，所以 a2－a12 ＝＝－1.] b2－2 5．已知数列{an}的前n项和为Sn，数列{bn}中，b1＝a1，bn＝an－an－1(n≥2)，且an＋Sn＝ n. (1)设cn＝an－1，求证：{cn}是等比数列； (2)求数列{bn}的通项公式． [解] (1)证明：∵an＋Sn＝n，① ∴an＋1＋Sn＋1＝n＋1.② ②－①得an＋1－an＋an＋1＝1. ∴2an＋1＝an＋1，∴2(an＋1－1)＝an－1， ∴ an＋1－11 ＝，∵首项c1＝a1－1， an－12 11 又a1＋a1＝1，∴a1＝，∴c1＝－， 221 又cn＝an－1，∴q＝. 2 11 ∴{cn}是以－为首项，公比为的等比数列． 22 ?1??1?n－1?1?n(2)由(1)可知cn＝?－?·??＝－??， ?2??2??2??1?n∴an＝cn＋1＝1－??. ?2? ?1?n?1?n－1?1?n－1?1?n?1?n∴当n≥2时，bn＝an－an－1＝1－??－1－??＝??－??＝??. ?2??2??2??2??2? 1 又b1＝a1＝， 2代入上式也符合， ?1?n∴bn＝??. ?2?
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