2017-2018学年上海市静安区高一第二学期期末数学试卷
一、填空题（本题共8道小题，每小题5分，满分40分)
1．已知200°的圆心角所对的弧长等于50cm，则该圆的半径为 cm． 2．方程3sinx﹣1＝0在区间（0，2π）的解为 ． 3．若
????????(??+)
4??????2??
=
√2，则sin2α的值为 ． 2
4．命题“数列的前n项和Sn＝3n2+n（n∈N*）”成立的充要条件是 （填一组符合题意的充要条件即可，所填答案中不得含有字母n）
5．假设我国国民生产总值经过10年增长了1倍，且在这10年期间我国国民生产总值每年的年增长率均为常数r，则r＝ （精确到0.1%） 6．已知数列{an}的通项公式an=最小值为 ．
7．函数y＝cosx（sinx﹣cosx）（x∈R）的最大值为 ．
8．如图，动点P在以O为圆心，半径为1米的圆周上运动，从最低点M开始计时，用时4分钟逆时针匀速旋转一圈后停止，设点P的纵坐标y（米）关于时间t（分）的函数为y＝f（t）．则该函数的图象大致为 （请注明关键点）
2
???3（n∈N*），那么使得其前
1
n项和Sn大于7.999的n的
二、解答题（本题共4道小题，满分60分)
9．（1）设α≠kπ+2（k∈Z），直接用任意角的三角比定义证明：sec2α﹣tan2α＝1．
??????????
2tancos（）给出两个公式：①α=，②（???）＝sinα．
????????2
??
请仅以上述两个公式为已知条件证明：tan（???）=
2
??
1
． ????????10．已知余切函数f（x）＝cotx．
（1）请写出余切函数的奇偶性，最小正周期，单调区间；（不必证明） （2）求证：余切函数f（x）＝cotx在区间（0，π）上单调递减．
11．设数列{an}的前n项和为Sn，对于n∈N*，（q﹣1）Sn＝qan﹣a1，其中q是常数． （1）试讨论：数列{an}在什么条件下为等比数列，请说明理由；
（2）设a1＝32，且对任意的n∈N*，bn＝log2an有意义，数列{bn}的前n项和为Tn，若T19
＝19，求Tn的最大值．
12．如图是一景区的截面图，AB是可以行走的斜坡，已知AB＝2百米，BC是没有人行路（不能攀登）的斜坡，CD是斜坡上的一段陡峭的山崖．假设你（看做一点）在斜坡AB上，身上只携带着量角器（可以测量以你为顶点的角）．
（1）请你设计一个通过测量角可以计算出斜坡BC的长的方案，用字母表示所测量的角，计算出BC的长，并化简；
√
AC=√19百米，（2）设BC＝3百米，∠DBA=2，∠BAD＝arccos，求山崖CD的长．（精
5
??
5确到米）
2017-2018学年上海市静安区高一第二学期期末数学试
卷
参考答案
一、填空题（本题共8道小题，每小题5分，满分40分) 1．已知200°的圆心角所对的弧长等于50cm，则该圆的半径为 【分析】先将角度化为弧度，再根据弧长公式即可即可． 解：圆心角200°＝200×∵弧长为50=
10
πr， 9??10
π， =180945??
cm．
45
∴r=（cm），
??即该圆的半径长故答案为：
45??
45??
cm．
．
131
2．方程3sinx﹣1＝0在区间（0，2π）的解为 arcsin或??????????????? ．
3【分析】由题意求得sinx=，利用反三角函数求出方程在区间（0，2π）的解即可． 解：由3sinx﹣1＝0， 得sinx=， ∴x＝2kπ+arcsin，
31
1313或x＝（2k+1）π﹣arcsin，k∈Z；
3
1
∴方程在区间（0，2π）的解为： x＝arcsin或x＝π﹣arcsin．
3
3
1
1
故答案为：arcsin或π﹣arcsin．
3
3
??????2??
√23
，则sin2α的值为 ? ．
42
11
3．若
??????(??+)
??4
=
【分析】把已知等式展开二倍角余弦及两角和的余弦，整理后两边平方求解．
??????2?????????2??√2√2==解：由，得， ??√222??????(??+)(?????????????????)
??????2??
42
∴
(?????????????????)(????????+????????)
?????????????????
=，则sin??+????????=2， 2
34341
1
两边平方得：2????????????????=?，即sin2α=?． 故答案为：?．
44．命题“数列的前n项和Sn＝3n2+n（n∈N*）”成立的充要条件是 数列为等差数列且a1
＝4，d＝6，（答案不唯一） （填一组符合题意的充要条件即可，所填答案中不得含有字母n）
【分析】根据题意，设该数列为{an}，由数列的前n项和公式分析可得数列为等差数列且a1
＝4，d＝6，反之验证可得Sn＝3n2+n成立，综合即可得答案． 解：根据题意，设该数列为{an}，
若数列的前n项和Sn＝3n2+n，则当n＝1时，a1＝S1＝4， 当n≥2时，an＝Sn﹣Sn﹣1＝6n﹣2， 当n＝1时，a1＝4符合an＝6n﹣2， 故有数列为等差数列且a1＝4，d＝6，
反之当数列为等差数列且a1＝4，d＝6时，an＝6n﹣2，Sn=
(??1+????)×2
=3n2+n； 23
d＝6， 故数列的前n项和Sn＝3n2+n（n∈N*）”成立的充要条件是数列为等差数列且a1＝4，故答案为：数列为等差数列且a1＝4，d＝6．
5．假设我国国民生产总值经过10年增长了1倍，且在这10年期间我国国民生产总值每年的年增长率均为常数r，则r＝ 7.2% （精确到0.1%）
【分析】根据题意，设10年前的国民生产总值为a，则10年后的国民生产总值为2a，结合题意可得a（1+r%）10＝2a，解可得r的值，即可得答案．
解：根据题意，设10年前的国民生产总值为a，则10年后的国民生产总值为2a， 则有a（1+r%）10＝2a， 即（1+r%）10＝2， 解可得：r≈7.2， 故答案为：7.2．
6．已知数列{an}的通项公式an=最小值为 13 ．
【分析】直接利用数列的通项公式，建立不等式，解不等式求出结果．
2
???3（n∈N*），那么使得其前
1
n项和Sn大于7.999的n的
解：列{an}的通项公式an=
4(1?1??)211?22
???3（n∈N*），
1
则：????=
=8(1?
1??)， 2
所以：当8(1?即：1?
1
??)＞7.999时， 2
1
??＞63.992， 2
1
??＞63.992成立， 2当n＝13时，1?
即：n的最小值为13． 故答案为：13
2?17．函数y＝cosx（sinx﹣cosx）（x∈R）的最大值为 √ ．
2【分析】利用三角函数化简，结合三角函数的有界限可得答案．
??11√1解：函数y＝cosx（sinx﹣cosx）=sin2x?cos2x?1=2sin（2x?4）?
22222当sin（2x?4）＝1时，y取得最大值为故答案为：
√2?1． 2
??
√2?1． 2
8．如图，动点P在以O为圆心，半径为1米的圆周上运动，从最低点M开始计时，用时4分钟逆时针匀速旋转一圈后停止，设点P的纵坐标y（米）关于时间t（分）的函数为y
＝f（t）．则该函数的图象大致为 （请注明关键点）
【分析】根据题意先得出y＝f（t）＝sin（t?2），再画图．
2解：设y＝f（t）＝Asin（ωt+φ）+b，t≥0，
2????
∴A＝1，T＝4，ω==，t＝0时，φ=?2，b＝0
42??
??
??
∴y＝f（t）＝sin（t?2），
2故答案为：
??
??
二、解答题（本题共4道小题，满分60分)
9．（1）设α≠kπ+（k∈Z），直接用任意角的三角比定义证明：sec2α﹣tan2α＝1．
2（2）给出两个公式：①tanα=
??????????
，②cos（???）＝sinα． ????????2
??2
1
． ??????????
请仅以上述两个公式为已知条件证明：tan（???）=
【分析】（1）直接利用任意角的三角函数的定义证得sec2α﹣tan2α＝1． （2）由已知条件利用诱导公式，证明tan（???）=
2
??
??
1
． ????????y）r＝|OP|=√??2+??2， 解：（1）证明：设α≠kπ+2（k∈Z），在α的中边上任意取一点P（x，，
22222
sec2α﹣tan2α=?????=(??+??)???=??=1，即 sec2α﹣tan2α＝1．
222222
??????????（2）证明：∵①tanα=
??
??????????
，②cos（???）＝sinα． ????????2
??????(????????????112???)=????????=cotα=∴：tan（???）=，即tan（???）=． ????????????????????????(2???)22
10．已知余切函数f（x）＝cotx．
（1）请写出余切函数的奇偶性，最小正周期，单调区间；（不必证明） （2）求证：余切函数f（x）＝cotx在区间（0，π）上单调递减． 【分析】（1）直接利用函数的性质写出结果．
（2）利用单调性的定义和三角函数关系式的变换求出结果． 解：（1）余切函数f（x）＝cotx，为奇函数，
最小正周期为π，单调递减区间为（kπ，kπ+π）（k∈Z）； 证明：（2）余切函数f（x）＝cotx在区间（0，π）设x1和x2，
21则：cotx2﹣cotx1=?????????????????，
212
， =????????1?????????21
????????????????
??????(?????)
由于：0＜x1＜x2＜π， 则：﹣π＜x1﹣x2＜0，
从而得到：sin（x1﹣x2）＜0，sinx1?sinx2＞0， 故：cotx2＜cotx1，
所以函数在（0，π）为单调递减函数．
11．设数列{an}的前n项和为Sn，对于n∈N*，（q﹣1）Sn＝qan﹣a1，其中q是常数． （1）试讨论：数列{an}在什么条件下为等比数列，请说明理由；
（2）设a1＝32，且对任意的n∈N*，bn＝log2an有意义，数列{bn}的前n项和为Tn，若T19
＝19，求Tn的最大值．
【分析】（1）以定义证明数列为等比数列．
（2）利用（1）的结论，进一步求出数列的和及最大值．
解：（1）数列{an}的前n项和为Sn，对于n∈N*，（q﹣1）Sn＝qan﹣a1，① 当n≥2时，（q﹣1）Sn﹣1＝qan﹣1﹣a1②， ①﹣②得：（q﹣1）an＝qan﹣qan﹣1， 即：an＝qan﹣1， 所以：
?????????1
=??(常数)，
所以：当a1≠0，q≠0时，数列{an}为等比数列． （2）由（1）得：????=32?????1 所以：bn＝5+（n﹣1）log2q， 由于：T19＝19， 所以：5×19+
19×18
??????2??=19， 2即：??????2??=?，
9由bn＝5+（n﹣1）log2q≥0， 解得：n≤12.25，
故：(????)??????=??12=5×12+
12×1142
?(?)=30． 2934
12．如图是一景区的截面图，AB是可以行走的斜坡，已知AB＝2百米，BC是没有人行路（不能攀登）的斜坡，CD是斜坡上的一段陡峭的山崖．假设你（看做一点）在斜坡AB上，身上只携带着量角器（可以测量以你为顶点的角）．
（1）请你设计一个通过测量角可以计算出斜坡BC的长的方案，用字母表示所测量的角，计算出BC的长，并化简；
√
AC=√19百米，（2）设BC＝3百米，∠DBA=2，∠BAD＝arccos，求山崖CD的长．（精
5
??
5确到米）
【分析】（1）由题意测得∠CAB＝α，∠ABC＝β，在△ABC中利用正弦定理求得BC的值； （2）解法一，△ABC中由余弦定理求得∠ABC，Rt△DBA中求得BD和∠CBD的值，在△BCD中利用余弦定理求得CD的值．
解法二，Rt△ABD中求得AD，△ABC中利用余弦定理求得cos∠CAB，利用三角恒等变换求得cos∠DAC，在△ACD中利用余弦定理求得CD的值． 解：（1）由题意，可测得∠CAB＝α，∠ABC＝β， 在△ABC中，由正弦定理得，即
22????????
??????????∠??????
=
??????????∠??????
，
??????[80°?(??+??)]
=
????????????
，
解得BC=??????(??+??)；
（2）解法一，在△ABC中，AB＝2百米，BC＝3百米，AC=√19百米，
222
由余弦定理，可得cos∠ABC=????+?????????=4+9?19=?1，
2?????????2×2×322??
∴∠ABC=；如图所示，
3
√
在△DBA中，∠DBA=2，∠BAD＝arccos，
5
??5∴tan∠BAD＝2，BD＝4； 又∵∠CBD＝∠ABC﹣∠DBA=6；
在△BCD中，由余弦定理得CD=√????2+????2?2????????????????∴山崖CD的长度约为206米．
解法二，在Rt△ABD中，求得AD＝2√5， 在△ABC中，由余弦定理得cos∠CAB=∴sin∠CAB=
3√3， 2√195557， 2√19??≈205（米）， 6??
√
再由∠DAB＝arccos，
√√
可求得cos∠DAB=5，sin∠DAB=25，
5∴cos∠DAC＝cos（∠DAB﹣∠CAB）=
√55×72√53√37√5+6√15； +×=
52√192√1910√19在△ACD中，由余弦定理，得CD=√????2+????2?2????????????????∠??????≈205， 所以山崖CD的长度约为205米．
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