数列的综合问题
1．删去正整数数列1,2,3，… 中的所有完全平方数，得到一个新数列，这个数列的第2 018项是( ) A．2 062 B．2 063 C．2 064 D．2 065 答案 B
解析 由题意可得，这些数可以写为12,3,25,6,7,8,3，…，第k个平方数与第k＋1个平方数之间有2k个正整数，而数列12,3,25,6,7,8,3，…，45共有2 025项，去掉45个平方数后，还剩余2 025－45＝1 980(个)数，所以去掉平方数后第2 018项应在2 025后的第38个数，即是原来数列的第2 063项，即为2 063.
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2．已知数列{an}满足0 an?? 4 1 21 2, 2, 2 2 2, 2, 2 为Sn，则满足Sn>10的n的最小值为( ) A．60 B．61 C．121 D．122 答案 B 4422 解析 由a1－8a1＋4＝0，得a1＋2＝8， a1 42 所以an＋2＝8＋8(n－1)＝8n， an2?224?所以?an＋?＝an＋2＋4＝8n＋4， a? n? an2 所以an＋＝22n＋1， an即an－22n＋1an＋2＝0， 22n＋1±22n－1 所以an＝＝2n＋1±2n－1， 2因为0 所以an＝2n＋1－2n－1，Sn＝2n＋1－1， 由Sn>10得2n＋1>11， 所以n>60. ∴an＝2n＋3n，由题意可知， 项 个位数 1 2 5 4 3 7 4 4 5 5 6 0 7 9 8 2 9 9 10 0 2 2 ∴每10项中有4项能被5整除，∴数列{an}的前100项中，能被5整除的项数为40. 7．设x＝1是函数f(x)＝an＋1x－anx－an＋2x＋1(n∈N)的极值点，数列{an}满足 a1＝1，a2＝2，bn＝log2an＋ 1 3 2 * ，若[x]表示不超过x的最大整数，则? ?2 018＋2 018＋…＋2 018? b2b3b2 018b2 019??b1b2? 等于( ) A．2 017 B．2 018 C．2 019 D．2 020 答案 A 解析 由题意可得f′(x)＝3an＋1x－2anx－an＋2， ∵x＝1是函数f(x)的极值点， ∴f′(1)＝3an＋1－2an－an＋2＝0， 即an＋2－3an＋1＋2an＝0. ∴an＋2－an＋1＝2(an＋1－an)， ∵a2－a1＝1，∴a3－a2＝2×1＝2，a4－a3＝2×2＝2，…，an－an－1＝2以上各式累加可得an＝2 nn－1 2 2 n－2 ， . ∴bn＝log2an＋1＝log22＝n. ∴ 2 0182 0182 018 ＋＋…＋ b1b2b2b3b2 018b2 019 ＝2 018? 1?1＋1＋…＋? 2 018×2 019??1×22×3? ＝2 018?1－∴? ? ? 1?2 0181 ＝2 018－＝2 017＋. ?2 019?2 0192 019 ?2 018＋2 018＋…＋2 018?＝2 017. b2b3b2 018b2 019??b1b2? a1＋2a2＋…＋2n－1ann＋1 8．对于数列{an}，定义Hn＝为{an}的“优值”，现在已知某数列{an}的“优值”Hn＝2， n记数列{an－kn}的前n项和为Sn，若Sn≤S5对任意的n恒成立，则实数k的取值范围为________． 712??答案 ?，? ?35? a1＋2a2＋…＋2n－1ann＋1 解析 由题意可知＝2， n∴a1＋2a2＋…＋2 n－1 an＝n·2n＋1，① a1＋2a2＋…＋2n－2an－1＝(n－1)·2n，② 由①－②，得2 n－1 an＝n·2n＋1－(n－1)·2n(n≥2，n∈N*)， 则an＝2n＋2(n≥2)， 又当n＝1时，a1＝4，符合上式， ∴an＝2n＋2(n∈N)，∴an－kn＝(2－k)·n＋2， 令bn＝(2－k)·n＋2， 712 ∵Sn≤S5，∴b5≥0，b6≤0，解得≤k≤， 35 * ?712?∴k的取值范围是?，?. ?35? 4?16?n－2 9．已知数列{an}的前n项和为Sn，Sn＝(an－1)，则(4＋1)?＋1?的最小值为__________． 3?an?答案 4 44 解析 ∵Sn＝(an－1)，∴Sn－1＝(an－1－1)(n≥2)， 334 ∴an＝Sn－Sn－1＝(an－an－1)， 34 ∴an＝4an－1，又a1＝S1＝(a1－1)， 3 ∴a1＝4，∴{an}是首项为4，公比为4的等比数列， ∴an＝4， n?16??4??16?∴(4＋1)?＋1?＝?＋1??n＋1? ?an??16??4? n－2 n416 ＝2＋＋n≥2＋2＝4， 164当且仅当n＝2时取“＝”． 10．已知数列{an}的首项a1＝a，其前n项和为Sn，且满足Sn＋Sn－1＝4n(n≥2，n∈N)，若对任意n∈N，an 2 * * n恒成立，则a的取值范围是______________． 答案 (3,5) 解析 由条件Sn＋Sn－1＝4n(n≥2，n∈N)， 得Sn＋1＋Sn＝4(n＋1)， 两式相减，得an＋1＋an＝8n＋4， 故an＋2＋an＋1＝8n＋12， 两式再相减，得an＋2－an＝8， 由n＝2，得a1＋a2＋a1＝16?a2＝16－2a， 从而a2n＝16－2a＋8(n－1)＝8n＋8－2a； 由n＝3，得a1＋a2＋a3＋a1＋a2＝36?a3＝4＋2a， 从而a2n＋1＝4＋2a＋8(n－1)＝8n－4＋2a， 2 2 * a<16－2a，?? 由条件得?8n＋8－2a<8n－4＋2a， ?n＋＋8－2a，?8n－4＋2a解得3 11．已知数列{an}中，a1＝1，且点P(an，an＋1)(n∈N)在直线x－y＋1＝0上． (1)求数列{an}的通项公式； (2)若函数f(n)＝123n* ＋＋＋…＋(n∈N，且n>2)，求函数f(n)的最小值； n＋a1n＋a2n＋a3n＋an* 1 (3)设bn＝，Sn表示数列{bn}的前n项和，试问：是否存在关于n的整式g(n)，使得S1＋S2＋S3＋…＋Sn－1 an＝(Sn－1)·g(n)对于一切不小于2的自然数n恒成立？若存在，写出g(n)的解析式，并加以证明；若不存在，请说明理由． 解 (1)点P(an，an＋1)在直线x－y＋1＝0上， 即an＋1－an＝1，且a1＝1， ∴数列{an}是以1为首项，1为公差的等差数列， ∴an＝1＋(n－1)·1＝n(n∈N)． * 1111 (3)∵bn＝?Sn＝1＋＋＋…＋， n23n1 ∴Sn－Sn－1＝(n≥2)， n即nSn－(n－1)Sn－1＝Sn－1＋1，
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