数列综合测试题假期作业

数列综合测试题参考答案

一、

选择题

CABDC DDDBD DA 二、

填空题

2n＋151

13、4，5，32 14、an＝4－ 15、n＋1 16、2

2n(n＋1)三、解答题

17．⑴由题意得（a1＋d）(a1＋13d)＝(a1＋4d)2(d>0) 解得d＝2，∴an＝2n－1，bn＝3n－1．

⑵当n＝1时，c1＝3 当n≥2时，∵cn?an?1?an,∴cn???bn3(n?1)n?1?2?3(n?2) 故cn?2?3n?1

?c1?c2???c2004?3?2?3?2?32???2?32003?32004

18．解：(1)∵n，an，Sn成等差数列， ∴Sn＝2an－n，Sn－1＝2an－1－(n－1) (n≥2)， ∴an＝Sn－Sn－1＝2an－2an－1－1 (n≥2)， ∴an＝2an－1＋1 (n≥2)，

两边加1得an＋1＝2(an－1＋1) (n≥2)， an＋1∴＝2 (n≥2)． an－1＋1

又由Sn＝2an－n得a1＝1.

∴数列{an＋1}是首项为2，公比为2的等比数列， ∴an＋1＝2·2n－1，即数列{an}的通项公式为an＝2n－1. (2)由(1)知，Sn＝2an－n＝2n＋1－2－n， ∴Sn＋1－Sn＝2n＋2－2－(n＋1)－(2n＋1－2－n) ＝2n＋1－1>0，

∴Sn＋1>Sn，{Sn}为递增数列． 由题设，Sn>57，即2n＋1－n>59. 又当n＝5时，26－5＝59，∴n>5.

∴当Sn>57时，n的取值范围为n≥6(n∈N*)．

5

19．解：(1)由于不等式f(x)≤0的解集有且只有一个元素， ∴Δ＝a2－4a＝0?a＝4， 故f(x)＝x2－4x＋4.

由题Sn＝n2－4n＋4＝(n－2)2 则n＝1时，a1＝S1＝1；

n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(n－2)2－(n－3)2＝2n－5， ?1 n＝1，

故an＝?

?2n－5 n≥2.?－3 n＝1?

(2)由题可得，cn＝?4

1－ n≥2?2n－5?由c1＝－3，c2＝5，c3＝－3， 所以i＝1，i＝2都满足ci·ci＋1<0， 1

当n≥3时，cn＋1>cn，且c4＝－3， 4

同时1－>0?n≥5，

2n－5

可知i＝4满足ci、ci＋1<0，n≥5时，均有cncn＋1>0.

∴满足cici＋1<0的正整数i＝1,2,4，故数列{cn}的变号数为3. 11

20．解：(1)经计算a3＝3，a4＝4，a5＝5，a6＝8. 当n为奇数时，an＋2＝an＋2，即数列{an}的奇数项成等差数列， ∴a2n－1＝a1＋(n－1)·2＝2n－1.

1

当n为偶数时，an＋2＝2an，即数列{an}的偶数项成等比数列， 1－1

∴a2n＝a2·(2)n1＝(2)n.

n (n为奇数)，??因此，数列{an}的通项公式为an＝?1n

() (n为偶数).??22

.

6

1n

(2)∵bn＝(2n－1)·(2)，

112131n∴Sn＝1·＋3·()＋5·()＋?＋(2n－3)·(

2222)①

11213141n1n＋1

S()＋3·()＋5·()＋?＋(2n－3)·()＋(2n－1)·(， n＝1·222222)②

①②两式相减，

1112131n1n＋1得2Sn＝1·＋2[()＋()＋?＋()]－(2n－1)·(

22222) 11n－1·[1－(

2)]121n＋1

＝2＋－(2n－1)·(

12) 1－231＝2－(2n＋3)·(2)n＋1. 1∴Sn＝3－(2n＋3)·(2)n.

Sn11121．解：(1)由已知得＝n＋，

n22111

∴Sn＝2n2＋2n. 当n≥2时， an＝Sn－Sn－1

111111

＝2n2＋2n－2(n－1)2－2(n－1)＝n＋5； 当n＝1时，a1＝S1＝6也符合上式． ∴an＝n＋5.

由bn＋2－2bn＋1＋bn＝0(n∈N*)知{bn}是等差数列， 9(b1＋b9)

由{bn}的前9项和为153，可得＝9b5＝153，

2得b5＝17，又b3＝11，

b5－b3

∴{bn}的公差d＝2＝3，b3＝b1＋2d， ∴b1＝5，∴bn＝3n＋2.

7

－

1

1

＋(2n－1)·(2)n，

(2)cn＝

3111

＝2(－)，

(2n－1)(6n＋3)2n－12n＋1

11

－) 2n－12n＋1

1111

∴Tn＝2(1－3＋3－5＋?＋11＝2(1－)．

2n＋1∵n增大，Tn增大， ∴{Tn}是递增数列． 1

∴Tn≥T1＝3.

k1kTn＞57对一切n∈N*都成立，只要T1＝3＞57， ∴k＜19，则kmax＝18.

11

22．解：(1)∵a1≠0，∴an≠0，∴由已知可得a－＝3(n≥2)，

nan－11

故数列{a}是等差数列．

n

1

(2)将an＝b＝

n111代入λan＋≥λ并整理得λ(1－)≤3n＋1， 3n－2an＋13n－2

∴λ≤

(3n＋1)(3n－2)

，原命题等价于该式对任意n≥2的整数恒成立．

3n－3

(3n＋1)(3n－2)(3n＋1)(3n－4)

设Cn＝，则Cn＋1－Cn＝>0，故Cn＋1>Cn，

3n－33n(n－1)28

∴Cn的最小值为C2＝3， 28

∴λ的取值范围是(－∞，]．

3

8