设BC＝4k，AC＝5k，AB＝6k， 若|
+
|＝
，则
2
+
2
+2?＝25k+16k+2×5k×4k×＝46k＝46，
222
解可得：k＝1，k＝﹣1（舍）； 则BC＝4，AC＝5，AB＝6， 设BC的中点为D，则则有则|
2
＝（
2
+），
，
＝（
；
2
++2?）＝（25+36+2×5×6×）＝
|＝
则BC边上中线的长为． 18．（12分）Monte﹣Carlo方法在解决数学问题中有广泛的应用，下面是利用Monte﹣Carlo方法来计算定积分，考虑定积分xdx，这时4xdx等于由曲线y＝x，x轴，x＝1
44所围成的区域M的面积，为求它的值，我们在M外作一个边长为1正方形OABC，设想在正方形OABC内随机投掷n个点，若n个点中有m个点落入M中，则M的面积的估计值为，此即为定积分有ξ个点落入区域M． （Ⅰ）若ξ＝2099，计算L的值，并与实际值比较误差是否在5%以内； （Ⅱ）求ξ的数学期望； （Ⅲ）用以上方法求定积分，求L与实际值之差在区间（﹣0.01，0.001）的概率． 附表：p（n）＝×0.2×0.8k10000﹣k10000﹣kxdx的估计值L，向正方形ABCD中随机投掷10000个点，4.8 2099 0.9933 2100 0.9938 2101 0.9942 n P（n） 1899 0.0058 1900 0.0062 1901 0.0067
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【解答】解：（1）若ξ＝2099，则I＝而
＝
＝0.2，…（2分）
，
∴估计值与实际值的误差为：
即估计值与实际值的误差在5%以内．…（4分）
（2）由题意，每一次试验能够落入区域M中的概率为0.2，
，
投掷10000个点有ξ个点落入区域M内，则ξ～B（10000，0.2），…（7分） ∴Eξ＝10000×0.2＝2000．…（9分）
（3）I与实际值之差在区间（﹣0.01，0.01）的概率为 P（|
|＜0.01）
＝P（1900＜ξ＜2100） ＝
＝P（2099）﹣P（1900）＝0.9871．…（14分）
19．（12分）如图三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AC1与A1C相交于点D，AB＝AC＝AA1＝BC1
＝2，∠A1AC＝120°，平面ABC1⊥平面AA1C1C． （Ⅰ）求证：BD⊥AC； （Ⅱ）求直线AB1与平面ABC所成角的余弦值．
【解答】（Ⅰ）证明：在△ABC1中， ∵AB＝BC1，D为AC1的中点，∴BD⊥AC1，
∵平面ABC1⊥平面AA1C1C，且平面ABC1∩平面AA1C1C＝AC1， ∴BD⊥平面AA1C1C，而AC?平面AA1C1C， ∴BD⊥AC；
（Ⅱ）解：由题意知，四边形ACC1A1是菱形，
∴A1C⊥AC1，而BD⊥平面ACC1A1，故分别以DA1，DA，DB所在直线为x，y，z轴建立
第18页（共24页）
空间直角坐标系D﹣xyz． 则A（0，1，0），B（0，0，C（
，0，0），
，
，y＝﹣1．
， ， ，
．
），A1（
，0，0），
令B1（x，y，z），则而即B1（而
，∴x＝z＝，﹣1，
），，
令平面ABC的一个法向量为
则有，取z＝1，得．
设直线AB1与平面ABC所成角为θ， 则sinθ＝|cos＜
＞|＝
． ∴cosθ＝．
．
故直线AB1与平面ABC所成角的余弦值为
20．（12分）已知椭圆
在直线l的上方，
（1）求直线l与x轴交点的横坐标x0的取值范围； （2）证明：△PAB的内切圆的圆心在一条直线上．
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，斜率为的直线l交椭圆C于A，B两点，且点
【解答】（1）解：设直线l的方程为，
∵点在直线l的上方， ∴
，∴b＜0
直线l的方程代入椭圆方程，整理可得2x2
+6bx+9b2
﹣36＝0 ∵斜率为的直线l交椭圆C于A，B两点， ∴△＝36b2
﹣8（9b2
﹣36）＝﹣36b2
+288＞0 ∴﹣2＜b＜2
∴﹣2＜b＜0
由，令y＝0可得x＝﹣3b，即x0＝﹣3b，
∴
（2）证明：设A（x1，y1），B（x1，y1），则
∵，
∴kPA+kPB＝0，
又∵点P在直线l的上方，故∠APB的角平分线是平行于y轴的直线， 故∠PAB的内切圆圆心在直线
上．
21．（12分）设函数f（x）＝x2
﹣（a﹣2）x﹣alnx． （Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；
（Ⅱ）若方程f（x）＝c（c为常数）有两个不相等的实数根x1，x2，求证：f′（＞0．
【解答】解：（Ⅰ）∵f（x）＝x2
﹣（a﹣2）x﹣alnx．
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）
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