∵将矩形ABCD绕着顶点B顺时针旋转，得到矩形EBGF，且D、E、F在同一条直线上， ∴∠DEB＝∠C＝90°，BE＝AB＝CD， ∵DB＝BD，
∴Rt△EDB≌Rt△CBD（HL）， ∴DE＝BC＝AD＝a， ∵EF＝AD＝a，
∴DF＝DE+EF＝a+a＝2a． 故答案为：2a．
【点睛】本题考查图形的旋转，三角形全等的判定和性质，解题的关键是掌握图形旋转的性质． 6．（2019?普陀区二模）如图，AD是△ABC的中线，点E在边AB上，且DE⊥AD，将△BDE绕着点D旋转，使得点B与点C重合，点E落在点F处，连接AF交BC于点G，如果????=2，那么????的值等于
????
5
????
1063 ．
【答案】解：如图，连接FC，
∵将△BDE绕着点D旋转，使得点B与点C重合，点E落在点F处，
∴BD＝CD，ED＝FD， ∵∠EDB＝∠FDC， ∴△EDB≌△FDC（SAS），
∴ED＝DF，∠EBD＝∠FCD，FC＝BE， ∴FC∥AB， ∴△CFG∽△BAG， ∴????=????=????=7， ∴FG=AF，
92
????
????
????
2
∵DE⊥AD，DE＝DF， ∴AE＝AF， ∴????=
????
2????97????5
=63．
10
10
故答案为：63．
【点睛】本题考查图形旋转的性质，相似三角形的判定和性质，解题的关键是掌握图形旋转的性质． 7．（2019?崇明区二模）如图，在△ABC中，已知AB＝AC，∠BAC＝30°，将△ABC绕着点A逆时针旋转30°，记点C的对应点为点D，AD、BC的延长线相交于点E．如果线段DE的长为√2，那么边AB的长为 √6+√2 ．
【答案】解：如图，作DF⊥BE于F，CH⊥AD于H，
∵将△ABC绕着点A逆时针旋转30°，记点C的对应点为点D，AD、BC的延长线相交于点E，
∴AD＝AC＝AB，∠CAD＝∠BAC＝30°， ∴∠ACB＝∠ACD＝∠ADC＝75°， ∴∠DCE＝30°，∠E＝45°， ∵DE=√2，
∴DF＝EF＝1，CF=√3，
∴CE=√3+1， ∴CH＝HE=
(√3+1)×√3√3+1，AH=， √2√2(√3+1)×√3√3+1+?√2√2∴AD＝AH+HE﹣DE=∴AB=√6+√2． 故答案为：√6+√2
√2=√6+√2，
【点睛】本题考查图形的旋转，解直角三角形的知识，解题的关键是掌握图形旋转的性质．
8．（2019?黄浦区二模）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，sin B=，将△ABC绕顶点C顺时针旋转，
53
得到△A1B1C，点A、B分别与点A1、B1对应，边A1B1分别交边AB、BC于点D、E，如果点E是边A1B1的中点，那么
??????1??
= ．
53
【答案】解：∵∠ACB＝90°，sin B=????=5， ∴设AC＝3x，AB＝5x， ∴BC=√????2????
3
?????2=4x，
∵将△ABC绕顶点C顺时针旋转，得到△A1B1C， ∴CB1＝BC＝4x，A1B1＝5x，∠ACB＝∠A1CB1， ∵点E是A1B1的中点， ∴CE=A1B1＝2.5x＝B1E，
21
∴BE＝BC﹣CE＝1.5x， ∵∠B＝∠B1，∠CEB1＝∠BED ∴△CEB1∽△DEB ∴??
????
1
=??
??
????
1
=2.5??=5 ??
1.5??3
故答案为： 5
3
【点睛】本题考查了旋转的性质，解直角三角形，相似三角形的判定和性质，证△CEB1∽△DEB是本题的关键．
9．（2019?金山区一模）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝6．在边AB上取一点O，使BO＝BC，以点O为旋转中心，把△ABC逆时针旋转90°，得到△A′B′C′（点A、B、C的对应点分别是点A′、B′、C′），那么△ABC与△A′B′C′的重叠部分的面积是 5.76
【答案】解：∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝6， ∴AB＝10， ∴BO＝BC＝6，
∵把△ABC逆时针旋转90°，得到△A′B′C′， ∴OA′＝OA＝4，∠A′＝∠A， ∵∠A′OM＝∠C＝90°， ∴△A′OM∽△ACB， ∴
????????
=
????′????
，
∴OM＝3， ∴AM＝1，
∵∠A′MO＝∠AMP， ∴∠APM＝∠A′ON＝90°， ∴△AON∽△ACB， ∴??△??????=（????）2=4，
△??????
??????1
∵S△ABC=2×8×6＝24， ∴S△AON＝6，
1
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