高考数学100个热点题型秒解技巧之利用二次曲线的极点与极线结论速求切线和中点弦方程

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2019年4月版

秒解高考数学100招 —— 选择、填空篇 ——

◆ 例（2016山东理7）函数f(x)?(3sinx?cosx)(3cosx?sinx)的最小正周期是( )

?3??A. B. C. D.2? 22【秒解】根据口诀：和差不变,积商减半,易知3sinx?cosx以及3cosx?sinx的周期

均为2?,则f(x)?(3sinx?cosx)(3cosx?sinx)的周期为?,选B.

四大特色助快速解题

◎ 100个秒解技巧 ◎ 80个精妙二级结论 ◎ 10年高考真题为例

◎ 700个例题深入剖析

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目录 CONTENTS

1、集合 ? 利用特值逆代法速解集合运算题……………………………………2 2、集合 ? 利用对条件具体化巧解集合运算题…………………………………… 3、集合 ? 运用补集运算公式简化集合计算……………………………………… 4、简易逻辑 ? 利用韦恩图巧解集合与数量关系题……………………………… 5、简易逻辑 ? 借助数轴法巧解充要条件问题…………………………………… 6、复数 ? 利用逆代法、特值法速解含参型复数题……………………………… 7、复数 ? 利用公式速解有关复数的模的问题…………………………………… 8、复数 ? 利用结论快速判断复数的商为实数或虚数…………………………… 9、复数 ? 利用公式快速解决一类复数问题……………………………………… 10、三视图 ? 柱体和锥体的三视图快速还原技巧……………………………… 11、三视图 ? 利用“三线交点”法巧妙还原直线型三视图…………………… 12、不等式 ? 利用逆代法巧解求不等式解集问题 ……………………………… 13、不等式 ? 利用特值法速解比较大小问题 …………………………………… 14、不等式 ? 利用数轴标根法速解高次不等式………………………………… 15、不等式 ? 用代入法速解f型不等式选择题………………………………… 16、不等式 ? 利用几何意义与三角不等式速解含有绝对值的不等式………… 17、不等式 ? 利用结论速解含双绝对值函数的最值问题……………………… 18、不等式 ? 利用“1的代换”巧解不等式中的最值问题…………………… 19、不等式 ? 利用“对称思想”速解不等式最值问题………………………… 20、不等式 ? 利用柯西不等式速解最值问题…………………………………… 21、线性规划 ? 利用特殊法巧解线性规划问题………………………………… 22、线性规划 ? 高考中常见的线性规划题型完整汇总………………………… 23、程序框图 ? 程序框图高效格式化解题模式………………………………… 24、排列组合 ? 排列组合21种常见题型解题技巧汇总……………………… 25、排列组合 ? 利用公式法速解相间涂色问题………………………………… 26、排列组合 ? 速解排列组合之最短路径技巧………………………………… 27、二项式定理 ? 二项式定理常见题型大汇总………………………………… 28、二项式定理 ? 利用公式速解三项型二项式指定项问题…………………… 29、平面向量 ? 特殊化法速解平面向量问题…………………………………… 30、平面向量 ? 利用三个法则作图法速求平面向量问题……………………… 31、平面向量 ? 三点共线定理及其推论的妙用………………………………… 32、平面向量 ? 平面向量等和线定理的妙用…………………………………… 33、平面向量 ? 向量中的“奔驰定理”的妙用………………………………… 34、平面向量 ? 三角形四心的向量表示及妙用………………………………… 35、平面向量 ? 利用极化恒等式速解向量内积范围问题……………………… 36、空间几何 ? 利用折叠角公式速求线线角…………………………………… 37、空间几何 ? 求体积的万能公式：拟柱体公式……………………………… 38、空间几何 ? 空间坐标系中的平面的方程与点到平面的距离公式的妙用… 39、空间几何 ? 利用空间余弦定理速求异面直线所成角……………………… 40、空间几何 ? 利用公式速解空间几何体的外接球半径……………………… 41、函数 ? 用特值法速解分段函数求范围问题………………………………… 42、函数 ? 数形结合法速解函数的零点与交点问题……………………………

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43、函数 ? 数型结合法巧解带f的函数型不等式……………………………… 44、函数 ? 函数的周期性的重要结论的运用…………………………………… 45、函数 ? 利用特值法巧解函数图像与性质问题……………………………… 46、函数 ? 通过解析式判断图像常用解题技巧………………………………… 47、函数 ?利用结论 速解“奇函数＋C”模型问题…………………………… 48、函数 ? 利用特值法速解与指数、对数有关的大小比较问题……………… 49、函数 ? 巧用耐克函数求解函数与不等式问题……………………………… 50、函数 ? 利用对数函数绝对值性质速解范围问题…………………………… 51、函数 ? 巧用原型函数解决抽象函数问题…………………………………… 52、函数 ? 构造特殊函数巧解函数问题………………………………………… 53、导数 ? 特殊化与构造方法巧解导数型抽象函数问题……………………… 54、导数 ? 极端估算法速解与导数有关选择题………………………………… 55、导数 ? 用母函数代入法巧解函数、导数中求范围问题…………………… 56、导数 ? 隐函数求导在函数与圆锥曲线切线问题中的妙用………………… 57、三角函数 ? 利用口诀巧记诱导公式及其运用……………………………… 58、三角函数 ? 利用结论速求三角函数周期问题……………………………… 59、三角函数 ? 巧用特值法、估算法解三角函数图像问题…………………… 60、三角函数 ? 海伦公式及其推论在求面积中的妙用………………………… 61、三角函数 ? 借助直角三角形巧妙转换弦与切……………………………… 62、三角函数 ? 特殊技巧在三角变换与解三角形问题中的运用……………… 63、三角函数 ? 齐次式中弦切互化技巧………………………………………… 64、三角函数 ? 利用射影定理秒解解三角形问题……………………………… 65、三角函数 ? 三角形角平分线定理的妙用…………………………………… 66、三角函数 ? 三角形角平分线长公式的妙用………………………………… 67、三角函数 ? 三角形中线定理及其推论的妙用……………………………… 68、三角函数 ? 利用测量法估算法速解三角形选择题………………………… 69、三角函数 ? 利用公式法速解三角函数平移问题…………………………… 70、数列 ? 利用公式法速解等差数列an与Sn…………………………………… 71、数列 ? 利用列举法速解数列最值型压轴题………………………………… 72、数列 ? 用特殊化法巧解单条件等差数列问题……………………………… 73、数列 ? 等差数列性质及其推论的妙用……………………………………… 74、数列 ? 观察法速解一类数列求和选择题…………………………………… 75、数列 ? 巧用不完全归纳法与猜想法求通项公式…………………………… 76、数列 ? 代入法速解数列选项含n型选择题………………………………… 77、数列 ? 一些数列选择填空题的解题技巧…………………………………… 78、统计与概率 ? 估算法速解几何概型选择题………………………………… 79、直线与圆 ? 利用相交弦定理巧解有关圆的问题…………………………… 80、直线与圆 ? 利用精准作图估算法速解直线与圆选择题…………………… 81、直线与圆 ? 利用两圆方程作差的几何意义速解有问题…………………… 82、圆锥曲线 ? 利用“阿波罗尼圆”速解一类距离比问题…………………… 83、圆锥曲线 ? 用点差法速解有关中点弦问题………………………………… 84、圆锥曲线 ? 用垂径定理速解中点弦问题……………………………………

85、圆锥曲线 ? 用中心弦公式定理速解中心弦问题…………………………… 86、圆锥曲线 ? 焦点弦垂直平分线结论的妙用………………………………… 87、圆锥曲线 ?利用二次曲线的极点与极线结论速求切线和中点弦方程…… 88、圆锥曲线 ? 用公式速解过定点弦中点轨迹问题…………………………… 89、圆锥曲线 ? 巧用通径公式速解离心率等问题……………………………… 90、圆锥曲线 ? 巧用三角形关系速求离心率…………………………………… 91、圆锥曲线 ? 构造相似三角形速解离心率…………………………………… 92、圆锥曲线 ? 用平面几何原理巧解圆锥曲线问题……………………………

93、圆锥曲线 ? 利用焦点弦公式速解焦点弦比例问题………………………… 94、圆锥曲线 ? 利用焦点弦公式速解焦半径与弦长问题……………………… 95、圆锥曲线 ? 椭圆焦点三角形面积公式的妙用……………………………… 96、圆锥曲线 ? 双曲线焦点三角形面积公式的妙用…………………………… 97、圆锥曲线 ? 离心率与焦点三角形底角公式的妙用………………………… 98、圆锥曲线 ? 用离心率与焦点三角形顶角公式速求离心率范围…………… 99、圆锥曲线 ? 用特值法巧解圆锥曲线选填题………………………………… 100、圆锥曲线 ? 用对称思想速解圆锥曲线问题………………………………

87、圆锥曲线 ?利用二次曲线的极点与极线结论速求切线和中点弦方程

（1）极点与极线的几何定义： 几何定义: 如图, P是不在二次曲线上的点,过P点引两条割线依次交二次曲线于四点E,F,G,H,连接EH,FN 交于 N ,连接 EG, FH 交于 M ,则直线 MN 为点 P 对应的极线. 若 P 为二次曲线上的点,则过 P 点的切线即为极线. 由图 1 可知,同理 PM 为点 N 对应的极线, PN 为点 M 所对应的极线. MNP 称为自极三点形. 若连接 MN 交二次曲线于点 A, B ,则 PA, PB 恰为二次曲线的两条切线. 事实上,图 1 也给出了两切线交点P对应的极线的一种作法. MAHNFBEGAAP（2）极点与极线的代数定义: 已知二次曲线C:Ax2?By2?Cxy?Dx?Ey?F?0与一点P(x0,y0) (其中A?B?0,点不在曲线中心和渐．P．．．．．．．．．近线上).则称点P和直线L: ．．．Ax0x?By0y?Cyx0?xy0x?xy?y?D0?E0?F?0 222是二次曲线C的一对极点和极线. 即在二次曲线方程中,以x0x替换x,以则可得到极点P(x0,y0)的极线方程L.

特别地：

(1)对于圆(x?a)2?(y?b)2?r2,与点P(x0,y0)对应的极线方程为(x0?a)(x?a)?(y0?b)(y?b)?r2;

x0?xy?yyx?xy0替换x,以y0y替换y,以0替换y,以0替换xy,222xxyyx2y2(2)对于椭圆2?2?1,与点P(x0,y0)对应的极线方程为02?02?1;

ababxxyyx2y2(3)对于双曲线2?2?1,与点P(x0,y0)对应的极线方程为02?02?1;

abab(4)对于抛物线y2?2px,与点P(x0,y0)对应的极线方程为y2?p(x0?x);

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（3）极点与极线的性质

一般地,有如下性质[焦点所在区域为曲线内部]: ．．．．．．．．．．．①若极点P在曲线С上,则极线L是曲线С在P点的切线;

②若极点P在曲线С外,则极线L是过极点P作曲线С的两条切线的切点连线;

③若极点P在曲线С内,则极线L在曲线С外且与以极点P为中点的弦平行[仅是斜率相等]

?PPPBA若是圆,则此时中点弦的方程为: ．

(x0?a)(x?a)?(y0?b)(y?b)?(x0?a)2?(y0?b)2

22x0xy0yx0y0若是椭圆,则中点弦的方程为2?2?2?2; ．．abab22x0xy0yx0y0若是双曲线,则中点弦的方程为2?2?2?2; ．．．abab若是抛物线,则此时中点弦的方程为y0y?p(x0?x)?y0?2px0; ．．．④当P(x0,y0)为圆锥曲线的焦点F(c,0)时,极线恰为该圆锥曲线的准线; ．．

◆ 例1(2017全国卷)曲线y?2x在点(?1,?1)处的切线方程为（ ） x?2A.y?2x?1 B.y?2x?1 C.y??2x?3 D.y??2x?2 【秒解】y?x可化为二次曲线xy?2y?x,点P(?1,?1)在二次曲线上,视P(?1,?1)为极点,则对应极线x?2x0?xy?y替换x,以y0y替换y,以022是曲线在P点的切线,根据结论：即在二次曲线方程中,以x0x替换x,以替换y,以

yx0?xy0替换xy,则可得到极点P(x0,y0)的极线方程L,可得： 2xy?2y?x ?

yx0?xy0y?yx0?x?y?xy?1?1?x?2?0??2?? ? ? y?2x?1, 选A. 22222222xy◆ 例2 若P(2,?1)为椭圆??1的弦AB的中点,则直线AB的方程为 .

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【秒解】根据结论：若极点P在曲线С内,则极线L在曲线С外且与以极点P为中点的弦平行,若曲线С是椭

22x0xy0yx0y0圆,则此时中点弦的方程为2?2?2?2;

abab易知,直线AB的方程为

2x?1?y2?2?1?(?1)???,即6x?y?13?0 927927x2◆ 例3 过椭圆?y2?1引两条切线,A和B分别为切点,则直线AB的方程是 .

9【秒解】根据结论：若极点P在曲线С外,则极线L是过极点P作曲线С的两条切线的切点连线;

x0x5xx2?y0y?1??1?y?1?5x?9y?9?0 ?y2?1?999

◆ 例4 直线y?x?1被椭圆x2?2y2?4所截得的弦的中点坐标是（ ) A.(,?) B.(?,) C.(,?) D.(?,)

222222xx?2yxxyyxyxy000?y??x??0【秒解】x2?2y2?4?? ?1,设弦中点(x0,y0),则弦方程为02?02?02222y2yabab04201323213312131132即y?x?1?k??

x0?1,只有B符合条件,选B. 2y05