2020年中考数学一轮复习培优训练：《三角形》

9．阅读下列材料，完成（1）～（3）题： 数学课上，老师出示了这样一道题：

如图1，△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，点D是BC的中点，E是AC的中点，经过点A、C作射线BE的垂线，垂足分别为点F、G，连接AG．探究线段DF和AG的关系．某学习小组的同学经过思考后，交流了自己的想法：

小明：“经过观察和度量，发现∠ABF和∠ACG相等．”小刚：“经过观察和度量，发现有两条线段和AF相等．”

小伟：“通过构造全等三角形，经过进一步推理，可以得到线段DF和AG的关系．” ……

老师：“若点E不是AC的中点，其他条件不变（如图2），可以求出（1）求证：AF＝FG；

（2）探究线段DF和AG的关系，并证明； （3）直接写出

的值．

的值．”

10．在△ABC中，AB＝AC，点D是直线BC上一点（不与B，C重合），以AD为一边在

ADCE的右侧作△ADE，使AD＝AE，∠DAE＝∠BAC，连接

．

（1）如图1，当点D在线段BC上，如果∠BAC＝90°，则∠BCE＝ 度； （2）如图2，如果∠BAC＝60°，则∠BCE＝ 度； （3）设∠BAC＝α，∠BCE＝β．

①如图3，当点D在线段BC上移动，则α，β之间有怎样的数量关系？请说明理由； ②当点D在直线BC上移动，请直接写出α，β之样的数量关系，不用证明．

11．在平面直角坐标系中，点A（0，m）和点B（n，0）分别在y轴和x轴的正半轴上，满足（m﹣n）2+|m+n﹣8|＝0，连接线段AB，点C为AB上一动点．

（1）填空：m＝ ，n＝ ；

（2）如图，连接OC并延长至点D，使得DC＝OC，连接AD．若△AOC的面积为2，求点D的坐标；

（3）如图，BC＝OB，∠ABO的平分线交线段AO于点E，交线段OC于点F，连接EC．求证：

①△ACE为等腰直角三角形； ②BF﹣EF＝OC．

12．如图，在平面直角坐标系中，点B的坐标是（﹣1，0），点C的坐标是（1，0），点D为y轴上一点，点A为第二象限内一动点，且∠BAC＝2∠BDO，BD与AC交于点F，过D作DM⊥AC于点M． （1）求证：∠ABD＝∠ACD．

（2）若点E在BA延长线上，求证：AD平分∠CAE． （3）在线段MC上取点G，使DG＝AD，求证：AB＝CG．

13．如图（1），在四边形ABCD中，已知∠ABC+∠ADC＝180°，AB＝AD，AB⊥AD，点

E在CD的延长线上，且∠BAC＝∠DAE．

（1）求证：AC＝AE； （2）求证：CA平分∠BCD；

（3）如图（2），设AF是△ABC的边BC上的高，试求CE与AF之间的数量关系．

14．如图1，在△ABC中，AB＝AC，点D是BC边上一点（不与点B，C重合），以AD为边在AD的右侧作△ADE，使AD＝AE，∠DAE＝∠BAC，连接CE．设∠BAC＝α，∠

BCE＝β．

（1）求证：△CAE≌△BAD；

（2）探究：当点D在BC边上移动时，α、β之间有怎样的数量关系？请说明理由； （3）如图2，若∠BAC＝90°，CE与BA的延长线交于点F．求证：EF＝DC．