由题意得
，
设平面
，，．
， ,,,,，
法向量 ，
则即
令 ，则，
．即
．
，
，
．
平面BAE法向量因为
，
所以
由题意知二面角 为锐角，所以它的余弦值
为.
上不存在点M，使
平面
平面．则
．理由如下．
（Ⅲ）解：在线段假设线段
上存在点M，使
．
，所以
，使得
因为又
．
．
法向量，
，
，所以
由（Ⅱ）可知，平面
平面
，当且仅当
即，使得．
所以 解得．
这与所以在线段
矛盾．
上不存在点M，使
平面
．
【点睛】本题考查线面垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，考查满足线面垂直的点是否存在的判断与求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查学生的计算能力，是中档题． 18.已知椭圆：(Ⅰ)求椭圆的方程； (Ⅱ)斜率为的直线交椭圆于是以
，
两点，且
．若直线
上存在点P，使得
过点
，且椭圆的离心率为．
为顶角的等腰直角三角形，求直线的方程．
(Ⅱ) y=x-1
【答案】(Ⅰ) 【解析】 【分析】 （Ⅰ）由椭圆C：
1（a＞b＞0）过点A（0，1），且椭圆的离心率为，列方程组求出a，b，
由此能求出椭圆C的方程．
（Ⅱ）设直线l的方程为y＝x+m，P（3，yP），由
22
，得4x+6mx+3m﹣3＝0，利用根的判
别式、韦达定理、中点坐标公式，结合已知条件能求出直线l的方程．
【详解】（Ⅰ）由题意得
解得．
．
所以椭圆的方程为
（Ⅱ）设直线l的方程为y=x+m，
由令
得
，得
，
．
. ．
因为所以过做
是以为顶角的等腰直角三角形，
平行于轴．
的垂线，则垂足为线段
，则
的中点．
．
设点的坐标为
由方程组解得，即．
而，
所以直线的方程为y=x-1．
【点睛】本题考查椭圆方程、直线方程的求法，考查椭圆、直线方程、根的判别式、韦达定理、中点坐标公式等基础知识，考查运算求解能力、推理论证能力，是中档题． 19.已知函数（Ⅰ）求（Ⅱ）设【答案】（Ⅰ）【解析】 【分析】
（Ⅰ）求出原函数的导函数，得到导函数的零点，由导函数的零点对函数定义域分段，再由导函数在不同区间段内的符号可得原函数的单调性；
，其中
的单调区间；
，若曲线
，
有公共点，且在点处的切线相同，求的最大值． ，单调递减区间为
；（Ⅱ）
．
的单调递增区间为
（Ⅱ）设点P的横坐标为x0（x0＞0），由题意得
，得到（a＞0）．设
，利用导数求其最大值得答案．
【详解】（Ⅰ）
的定义域为
．
令当所以
，得时，
．
．
；当时，．
； ，
．
的单调递增区间为，单调递减区间为，则
（Ⅱ）设点的横坐标为
因为，，所以，．
由题意得
由所以设
得或
（舍）． ． ，则 ．
令当当 所以
，得时，时，在
． ，，
单调递增； 单调递减．
，
的最大值为．
即的最大值为
【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性，考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，考查化归与转化思想方法，考查计算能力，是中档题．
20.一个大于1的自然数，除了1和它本身外，不能被其他自然数整除，则称这个数为质数．质数的个数是无穷的．设由所有质数组成的无穷递增数列所有不大于的项的和为（Ⅰ）求和(Ⅱ)判断和
；
的大小，不用证明；
．
的前项和为，等差数列1，3，5，7，…中
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