海淀区高三年级第二学期期中练习（一模）
数 学 （理科） 2013.4
一、选择题：本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项.
21.集合A?{x?N|x?6},B?{x?R|x?3x?0}，则A?B?
开始 A.{3,4,5} B.{4,5,6} C.{x|3?x?6} D.{x|3?x?6} 2.在极坐标系中, 曲线??4cos? 围成的图形面积为 Ａ.π B.4 Ｃ.4π Ｄ.16
3.某程序的框图如图所示，执行该程序， 若输入的x值为5， 则输出的y值为
输入x x?x?2 x?0 是 否 y?2x 输出y 1Ａ.?2 B. ?1 C. D.2
2?x?1,?4.不等式组?x?y?4?0,表示面积为1的直角三角形区域，则k的值为
?kx?y?0?Ａ.?2 B. ?1 C. 0 D.1 5. 若向量a,b满足|a|?|b|?|a?b|?1，则a?b 的值为 A.?结束 11 B. C.?1 D. 1
226. 一个盒子里有3个分别标有号码为1，2，3的小球，每次取出一个，记下它的标号后再放回盒子中，共取3次，则取得小球标号最大值是3的取法有 A.12种 B. 15种 C. 17种 D.19种
27. 抛物线y?4x的焦点为F，点P(x,y)为该抛物线上的动点，又点A(?1,0)，则
|PF|的|PA|最小值是 A.
12322 B. C. D. 22238. 设l1,l2,l3为空间中三条互相平行且两两间的距离分别为4，5，6的直线. 给出下列三个结论：
①?Ai?li(i?1,2,3)，使得?A1A2A3是直角三角形； ②?Ai?li(i?1,2,3)，使得?A1A2A3是等边三角形；
1
③三条直线上存在四点Ai(i?1,2,3,4)，使得四面体A1A2A3A4为在一个顶点处的三条棱两两互相垂直的四面体. 其中，所有正确结论的序号是
A. ① B.①② C. ①③ D. ②③ 二、填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分.
9.在复平面上，若复数a+b i（a,b?R）对应的点恰好在实轴上，则b=_______. 10.等差数列{an}中,a3?a4?9,a2a5?18, 则a1a6?_____. 12.在?ABC中，若a?4,b?2,cosA??1，则c?_____,sinC?____. 4x??2?a, x?0,13.已知函数f(x)??2有三个不同的零点，则实数a的取值范围是
??x?3ax?a, x?014.已知函数f(x)?sinx，任取t?R，定义集合：
π2At?{y|y?f(x)，点P(t,f(t))，Q(x,f(x))满足|PQ|?2}.
设Mt, mt分别表示集合At中元素的最大值和最小值，记h(t)?Mt?mt. 则 （1）函数h(t)的最大值是_____________；
（2）函数h(t)的单调递增区间为___________________________.
三、解答题: 本大题共6小题,共80分.解答应写出文字说明, 演算步骤或证明过程. 15.（本小题满分13分）
已知函数f(x)?2?(3sinx?cosx)2. （Ⅰ）求f()的值和f(x)的最小正周期； （Ⅱ）求函数f(x)在区间[?16.（本小题满分13分）
在某大学自主招生考试中，所有选报II类志向的考生全部参加了“数学与逻辑”和“阅读与表达”两个科目的考试，成绩分为A,B,C,D,E五个等级. 某考场考生两科的考试成绩的数据统计如下图所示，其中“数学与逻辑”科目的成绩为B的考生有10人. （I）求该考场考生中“阅读与表达”科目中成绩为A的人数； （II）若等级A，B，C，D，E分别对应5分，4分，3分，2分，1分.
π4??,]上的最大值和最小值. 63 2
（i）求该考场考生“数学与逻辑”科目的平均分；
(ii)若该考场共有10人得分大于7分，其中有2人10分，2人9分，6人8分. 从这10
人中随机抽取两人，求两人成绩之和的分布列和数学期望.
频率 0.375 0.200 0.075科目：数学与逻辑频率0.375科目：阅读与表达0.1500.025等级17.（本小题满分14分）
等级
在四棱锥P?ABCD中，PA?平面ABCD，?ABC是正三角形，AC与BD的交点M恰好是AC中点，又PA?AB?4，?CDA?120?，点N在线段PB上，且
PN?2．
P（Ⅰ）求证：BD?PC； （Ⅱ）求证：MN//平面PDC; （Ⅲ）求二面角A?PC?B的余弦值． 18.（本小题满分13分）
已知函数f(x)?lnx?ax?bx(其中a,b为常数
B2NADMC且
a?0)在x?1处取得极值.
(I) 当a?1时，求f(x)的单调区间；
(II) 若f(x)在?0,e?上的最大值为1，求a的值. 19.（本小题满分14分）
x2y2已知圆M：(x?2)?y?r（r?0）.若椭圆C：2?2?1（a?b?0）的右顶
ab222点为圆M的圆心，离心率为2. 2（I）求椭圆C的方程；
（II）若存在直线l：y?kx，使得直线l与椭圆C分别交于A，B两点，与圆M分别交于G，H两点，点G在线段AB上，且AG?BH，求圆M半径r的取值范围. 20.（本小题满分13分）
3
设A(xA,yA),B(xB,yB)为平面直角坐标系上的两点，其中xA,yA,xB,yB?Z.令
?x?xB?xA，?y?yB?yA，若?x+?y=3,且|?x|?|?y|?0，则称点B为点A的“相关
点”，记作：B??(A). 已知P0(x0, y0)(x0,y0?Z)为平面上一个定点，平面上点列{Pi}满足：Pi??(Pi?1)，且点Pi的坐标为(xi,yi)，其中i?1,2,3,...,n.
（Ⅰ）请问：点P0的“相关点”有几个？判断这些“相关点”是否在同一个圆上，若在同一个圆上，写出圆的方程；若不在同一个圆上，说明理由； （Ⅱ）求证：若P0与Pn重合，n一定为偶数；
（Ⅲ）若P0(1,0)，且yn?100，记T??xi，求T的最大值
i?0n海淀高三第二学期期中练习数学（理）答案2013．4
题号 答案 1 B 2 C 3 C 4 D 5 A 6 D 7 B 8 B 二、填空题（每小题5分, 有两空的小题，第一空3分，第二空2分，共30分）
9．0 10．14 11.
24 512．3,
315 16 13．
4?a?1 9 14．2, (2k?1,2k),k?Z
15.解：（I）因为f(x)?2?(3sinx?cosx)2= 2?(3sin2x?cos2x?23sinxcosx)
?2?(1?2sin2x?3sin2x)?2分 = 1?2sin2x?3sin2x ?cos2x?3sin2x??????4分 = 2sin(2x?π4π)??????6分 6所以f()?2sin(2?ππ2π?)?2sin?3??????7分 463所以 f(x)的周期为T?2π2π?= π??????9分 |?|2 4
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