海淀区高三年级第二学期期中练习(一模)
数 学 (理科) 2013.4
一、选择题:本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项.
21.集合A?{x?N|x?6},B?{x?R|x?3x?0},则A?B?
开始 A.{3,4,5} B.{4,5,6} C.{x|3?x?6} D.{x|3?x?6} 2.在极坐标系中, 曲线??4cos? 围成的图形面积为 A.π B.4 C.4π D.16
3.某程序的框图如图所示,执行该程序, 若输入的x值为5, 则输出的y值为
输入x x?x?2 x?0 是 否 y?2x 输出y 1A.?2 B. ?1 C. D.2
2?x?1,?4.不等式组?x?y?4?0,表示面积为1的直角三角形区域,则k的值为
?kx?y?0?A.?2 B. ?1 C. 0 D.1 5. 若向量a,b满足|a|?|b|?|a?b|?1,则a?b 的值为 A.?结束 11 B. C.?1 D. 1
226. 一个盒子里有3个分别标有号码为1,2,3的小球,每次取出一个,记下它的标号后再放回盒子中,共取3次,则取得小球标号最大值是3的取法有 A.12种 B. 15种 C. 17种 D.19种
27. 抛物线y?4x的焦点为F,点P(x,y)为该抛物线上的动点,又点A(?1,0),则
|PF|的|PA|最小值是 A.
12322 B. C. D. 22238. 设l1,l2,l3为空间中三条互相平行且两两间的距离分别为4,5,6的直线. 给出下列三个结论:
①?Ai?li(i?1,2,3),使得?A1A2A3是直角三角形; ②?Ai?li(i?1,2,3),使得?A1A2A3是等边三角形;
1
③三条直线上存在四点Ai(i?1,2,3,4),使得四面体A1A2A3A4为在一个顶点处的三条棱两两互相垂直的四面体. 其中,所有正确结论的序号是
A. ① B.①② C. ①③ D. ②③ 二、填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分.
9.在复平面上,若复数a+b i(a,b?R)对应的点恰好在实轴上,则b=_______. 10.等差数列{an}中,a3?a4?9,a2a5?18, 则a1a6?_____. 12.在?ABC中,若a?4,b?2,cosA??1,则c?_____,sinC?____. 4x??2?a, x?0,13.已知函数f(x)??2有三个不同的零点,则实数a的取值范围是
??x?3ax?a, x?014.已知函数f(x)?sinx,任取t?R,定义集合:
π2At?{y|y?f(x),点P(t,f(t)),Q(x,f(x))满足|PQ|?2}.
设Mt, mt分别表示集合At中元素的最大值和最小值,记h(t)?Mt?mt. 则 (1)函数h(t)的最大值是_____________;
(2)函数h(t)的单调递增区间为___________________________.
三、解答题: 本大题共6小题,共80分.解答应写出文字说明, 演算步骤或证明过程. 15.(本小题满分13分)
已知函数f(x)?2?(3sinx?cosx)2. (Ⅰ)求f()的值和f(x)的最小正周期; (Ⅱ)求函数f(x)在区间[?16.(本小题满分13分)
在某大学自主招生考试中,所有选报II类志向的考生全部参加了“数学与逻辑”和“阅读与表达”两个科目的考试,成绩分为A,B,C,D,E五个等级. 某考场考生两科的考试成绩的数据统计如下图所示,其中“数学与逻辑”科目的成绩为B的考生有10人. (I)求该考场考生中“阅读与表达”科目中成绩为A的人数; (II)若等级A,B,C,D,E分别对应5分,4分,3分,2分,1分.
π4??,]上的最大值和最小值. 63 2
(i)求该考场考生“数学与逻辑”科目的平均分;
(ii)若该考场共有10人得分大于7分,其中有2人10分,2人9分,6人8分. 从这10
人中随机抽取两人,求两人成绩之和的分布列和数学期望.
频率 0.375 0.200 0.075科目:数学与逻辑频率0.375科目:阅读与表达0.1500.025等级17.(本小题满分14分)
等级
在四棱锥P?ABCD中,PA?平面ABCD,?ABC是正三角形,AC与BD的交点M恰好是AC中点,又PA?AB?4,?CDA?120?,点N在线段PB上,且
PN?2.
P(Ⅰ)求证:BD?PC; (Ⅱ)求证:MN//平面PDC; (Ⅲ)求二面角A?PC?B的余弦值. 18.(本小题满分13分)
已知函数f(x)?lnx?ax?bx(其中a,b为常数
B2NADMC且
a?0)在x?1处取得极值.
(I) 当a?1时,求f(x)的单调区间;
(II) 若f(x)在?0,e?上的最大值为1,求a的值. 19.(本小题满分14分)
x2y2已知圆M:(x?2)?y?r(r?0).若椭圆C:2?2?1(a?b?0)的右顶
ab222点为圆M的圆心,离心率为2. 2(I)求椭圆C的方程;
(II)若存在直线l:y?kx,使得直线l与椭圆C分别交于A,B两点,与圆M分别交于G,H两点,点G在线段AB上,且AG?BH,求圆M半径r的取值范围. 20.(本小题满分13分)
3
设A(xA,yA),B(xB,yB)为平面直角坐标系上的两点,其中xA,yA,xB,yB?Z.令
?x?xB?xA,?y?yB?yA,若?x+?y=3,且|?x|?|?y|?0,则称点B为点A的“相关
点”,记作:B??(A). 已知P0(x0, y0)(x0,y0?Z)为平面上一个定点,平面上点列{Pi}满足:Pi??(Pi?1),且点Pi的坐标为(xi,yi),其中i?1,2,3,...,n.
(Ⅰ)请问:点P0的“相关点”有几个?判断这些“相关点”是否在同一个圆上,若在同一个圆上,写出圆的方程;若不在同一个圆上,说明理由; (Ⅱ)求证:若P0与Pn重合,n一定为偶数;
(Ⅲ)若P0(1,0),且yn?100,记T??xi,求T的最大值
i?0n海淀高三第二学期期中练习数学(理)答案2013.4
题号 答案 1 B 2 C 3 C 4 D 5 A 6 D 7 B 8 B 二、填空题(每小题5分, 有两空的小题,第一空3分,第二空2分,共30分)
9.0 10.14 11.
24 512.3,
315 16 13.
4?a?1 9 14.2, (2k?1,2k),k?Z
15.解:(I)因为f(x)?2?(3sinx?cosx)2= 2?(3sin2x?cos2x?23sinxcosx)
?2?(1?2sin2x?3sin2x)?2分 = 1?2sin2x?3sin2x ?cos2x?3sin2x??????4分 = 2sin(2x?π4π)??????6分 6所以f()?2sin(2?ππ2π?)?2sin?3??????7分 463所以 f(x)的周期为T?2π2π?= π??????9分 |?|2 4
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