2013.4海淀区高三年级第二学期期中练习（二模）数学理科试题及答案

11当k?0时，r2?2(1?1)?2(1?)?3k4?32 k2?2又显然

r2?2(1?113)?2, 所以2?r?3 k4?k2?2综上，2?r?3??????14分

20.解：（Ⅰ）因为?x+?y=3(?x,?y为非零整数）

故?x?1,?y?2或?x?2,?x?1，所以点P0的相关点有8个??????2分 又因为(?x)2?(?y)2?5，即(x21?x0)?(y1?y20)?5

所以这些可能值对应的点在以P0为圆心，5为半径的圆上??????4分 （Ⅱ）依题意Pn(xn,yn)与P0(x0,y0)重合

则xn?(xn?xn?1)?(xn-1?xn?2)?...?(x2?x1)?(x1?x0)?x0?x0，

yn?(yn?yn?1)?(yn-1?yn?2)?...?(y2?y1)?(y1?y0)?y0?y0

即(xn?xn?1)+(xn-1?xn?2)+...+(x2?x1)+(x1?x0)=0，

(yn?yn?1)+(yn-1?yn?2)+...+(y2?y1)+(y1?y0)=0

两式相加得

[(xn?xn?1)+(yn?yn?1)]+[(xn?1?xn?2)+(yn-1?yn?2)]+...+[(x1?x0)+(y1?y0)]=0（*）因为xi,yi?Z，xi?xi?1?yi?yi?1?3(i?1,2,3,...,n) 故(xi?xi?1)+(yi?yi?1)(i=1,2,3,...,n)为奇数，

于是（*）的左边就是n个奇数的和，因为奇数个奇数的和还是奇数， 所以n一定为偶数??????8分

（Ⅲ）令?xi?xi?xi?1,?yi?yi?yi?1,(i?1,2,3,...,n)， 依题意(yn?yn?1)?(yn?1?yn?2)?...?(y1?y0)?100， n因为T??xi?x0?x1?x2???xn

i?0 9

?1?(1??x1)?(1??x1??x2)???(1??x1??x2????xn) ?n?1?n?x1?(n?1)?x2????xn??????10分

因为有?xi+?yi?3，且?xi，?yi为非零整数， 所以当?xi?2的个数越多，则T的值越大，

而且在?x1,?x2,?x3,..,?xn这个序列中，数字2的位置越靠前，则相应的T的值越大 而当?yi取值为1或?1的次数最多时，?xi取2的次数才能最多，T的值才能最大. 当n?100时，令所有的?yi都为1，?xi都取2， 则T?101?2(1?2???100)?10201. 当n?100时，若n?2k(k?50,k?N*)，

此时，?yi可取k?50个1，k?50个?1，此时?xi可都取2，S(n)达到最大 此时T=n?1?2(n?(n?1)???1)?n2?2n?1.

若n?2k?1(k?50,k?N*),令?yn?2,其余的?yi中有k?49个?1，k?49个1. 相应的，对于?xi，有?xn?1,其余的都为2， 则T?n?1?2(n?(n?1)???1)?1?n2?2n

当50?n?100时，令?yi?1,i?2n?100,?yi?2,2n?100?i?n, 则相应的取?xi?2,i?2n?100,?yi?1,2n?100?i?n,

则T=n?1+2(n?(n?1)??(101?n))?((100?n)?(99?n)??1)

n2??205n?100982

??n2?205n?10098, 50?n?100,综上，T???2?(n?1)2, n?100且为偶数，??????13分

??n2+2n, n?100且为奇数.??

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