天津市和平区2019届高三下学期二模考试
理科数学试题
温馨提示：本试卷包括第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分。 考试时间120分钟。祝同学们考试顺利！
第Ⅰ卷 选择题（共40分）
注意事项:
1. 答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考号、科目涂写在答题卡上。
2. 每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。答在试卷上的无效。
3. 本卷共8小题，每小题5分，共40分。 参考公式：
如果事件A，B互斥,那么 如果事件A，B相互独立,那么
P(A?B)?P(A)?P(B) P(AB)?P(A)P(B). 1柱体的体积公式V?Sh. 锥体的体积公式V?Sh.
3其中S表示柱体的底面积, 其中S表示锥体的底面积, h表示柱体的高. h表示锥体的高.
一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. (1) 设全集U?R，集合M?{xy?lg(x2?1)},N?{x0?x?2},则(CRM)?N?
(A) x?2?x?1 (B) x0?x?1 (C) x?1?x?1 (D) xx?1
?x?2y?4?2x?y?4?(2) 已知x,y满足约束条件?则z?2x?y的最小值为
x?1???y?0????????开始 i?2,S?0 输入n (A) 2 (B) 4 (C)
21 (D) 25(3) 执行如图所示的程序框图,若输入的n?6， 则输出S? (A)
(4) 下列结论错误的是
(B) “a?b”是“ac2?bc2”的充分不必要条件
51273 (B) (C) (D) 1435610 i?n?是 否 输出S 1S?S?i(i?1)结束 结束i?i?1 (A) 命题：“若x2?3x?2?0，则x?2”的逆否命题是“若x?2，则x2?3x?2?0” (C) 命题：“?x?R， x2?x?0”的否定是“?x?R， x2?x?0”
(D) 若“p?q”为假命题，则p,q均为假命题 (5) f(x)?sin(2x??)(??(A) ??2)的图象向右平移
?个单位，所得到的图象关于y轴对称，则?的值为 12???? (B) ? (C) (D) ? 3436(6) 已知f(x)是定义在R上的偶函数，且在(??,0]上是增函数，设a?f(ln?),
b?f(?log52),c?f(e?12),则
a,b,c的大小关系是
(A)b?c?a (B)a?b?c (C)c?b?a (D)a?c?b
a2(7) 已知双曲线C:2?2?1(a?0,b?0)的右焦点为F(c,0)，直线x?与一条渐近线交于点P，
cabx2y2，则抛物线y2??POF的面积为a2(O为原点）(A) y?
2bx的准线方程为 a1
(B) x?1 (C) x??1 (D) x?2 2
2(8) 在?ABC中，AB?2AC?6，BA?BC?BA，点P是?ABC所在平面内的一点，则当
PA?PB?PC取得最小值时，AP?BC?
222 (A)
32 (B) ?9 (C) 7 (D) ? 55第Ⅱ卷 非选择题（共110分）
注意事项:
1. 用钢笔或圆珠笔直接答在答题卷上，答在本试卷上的无效。 2. 本卷共12小题，共110分。
二、填空题：本大题共6小题,每小题5分,共30分.把答案填在答题卷上. (9) 如果
2?1?mi（m?R,i表示虚数单位），那么m? . 1?i?x??1?2cos?(?为参数)交于两点A,B，则AB? .
y?2?2sin??(10) 若直线y??x?2与曲线? (11) 在一次医疗救助活动中，需要从A医院某科室的6名男医生、4名女医生中分别抽调3名男医
生、2名女医生，且男医生中唯一的主任医师必须参加，则不同的选派案共有 种.(用数字作答)
(12) 一个四棱柱的各个顶点都在一个直径为2 cm的球面上，如果该四棱柱的底面是对角线长为
2cm的正方形，侧棱与底面垂直，则该四棱柱的表面积为 .
(13) 若不等式x?2?x?2?21?3a对任意实数x都成立,则实数a的最大值为 . ?1?3，x?(?1，0]，? (14) 已知函数f(x)??x?1且函数g(x)?f(x)?mx?m在(?1，1]内
?x?(0，1]，?3x， 有且仅有两个不同的零点，则实数m的取值范围是 .
三、解答题：本大题共6小题,共80分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. (15) (本小题满分13分)
已知函数f(x)?sin2x?3sinxcosx (Ⅰ)求f(x)在?0,??上的单调递增区间；
?(Ⅱ)在?ABC中，a,b,c分别是角A,B,C的对边，A为锐角，若f(A)?sin(2A?)?1，
6 且?ABC的面积为23，求b?c的最小值. (16) (本小题满分13分)
某中学图书馆举行高中志愿者检索图书的比赛，从高一、高二两个年级各抽取10名志愿者参赛。 高一年级 高二年级 在规定时间内，他们检索到的
图书册数的茎叶图如图所示，规定册数不小于 20的为优秀.
7 7 8 0 9 9 6 5
2 4 5 1 9 7 5 4 0 1 3 3 2 2 1
(Ⅰ) 从两个年级的参赛志愿者中各抽取两人，求抽取的4人中至少一人优秀的概率； (Ⅱ) 从高一10名志愿者中抽取一人，高二10名志愿者中抽取两人，3人中优秀人数记为X，求X的分布列和数学期望. (17) (本小题满分13分)
如图,正方形ADEF与梯形ABCD所在的平面互相垂直， AD?CD,AB//CD，AB?AD?CD?1,点M在线段EC上.
FEM12DA(Ⅰ) 若点M为EC的中点，求证：BM//平面ADEF； (Ⅱ) 求证：平面BDE?平面BEC；
(Ⅲ) 当平面BDM与平面ABF所成二面角的余弦值为 (18) (本小题满分14分)
CB6时，求AM的长. 6x2y2设椭圆2?2?1(a?b?0)的左、右焦点分别F1、F2，右顶点为A，上顶点为B.已知
ab
AB?3F1F2. 2 (Ⅰ) 求椭圆的离心率；
(Ⅱ) 设P是椭圆上异于其顶点的一点，以线段PB为直径的圆经过点F1，且经过原 点O的直线l与该圆相切，求直线l的斜率. (19) (本小题满分13分)
已知单调等比数列{an}中，首项为数列{bn}满足条件
11，其前n项和是Sn，且a3?S3,S5,a4?S4成等差数列,221?(2)bn
a1a2a3?an(Ⅰ) 求数列{an}、{bn}的通项公式；
1(Ⅱ) 设cn?an?,记数列{cn}的前n项和Tn.
bn①求Tn ; ②求正整数k，使得对任意n?N?，均有Tk?Tn. (20) (本小题满分14分)
已知函数f(x)?ax?bsinx,当x?(Ⅰ)求a,b的值； (Ⅱ)记h(x)??3时, f(x)取得极小值?3?3. 1?5x?f(x)?,设x1是方程h(x)?x?0的实数根,若对于h(x)定义域中 8任意的x2,x3 .当x2?x1?1,且x3?x1?1时,问是否存在一个最小的正整数M, 使得 h(x3)?h(x2)?M|恒成立，若存在请求出M的值；若不存在请说明理由. (Ⅲ)设直线l:y?g(x),曲线S:y?F(x).若直线l与曲线S同时满足下列两个条件： ① 直线l与曲线S相切且至少有两个切点； ② 对任意x?R都有g(x)?F(x).则称直线l为曲线S的“上夹线”. 试证明：直线l:y?x?2是曲线S:y?ax?bsinx的“上夹线”.
和平区2018-2019学年度第二学期高三年级第二次质量调查
数学（理）学科试卷参考答案
一、选择题 (每小题5分，共40分)
(1) B (2) C (3) B (4) B (5) A (6) D (7) C (8) B 二、填空题 (每小题5分，共30分)
1?9??3?(9) 1 (10) 14 (11) 60 (12)2?42 (13) ? (14) ??,?2???0,?
3?4??2?
三、解答题 (本大题共6小题，共80分) (15) (本题13分)
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