随着一个精确的序列，因此，我们总是有ψ（PK+1）?ψ（PK）。需要注意的是，假设2.1下，总是存在至少有一个收敛精确子序列，一个精确点和一组正向范围的精确方向。
Clarke广义方向导数[7，22]ψ在p的方向V≠0定义为
下面的结果呈现在精确点的最优性条件满意的层次结构。最弱的结论是定义2.3的直接后果。接下来的结论导致ψ的假设越来越得到证实
.定理2.4。设P∈CL（Ω）是精确序列{PK}∈K的一个精确点，并假设p的精确方向在TΩ (p?)是稠密的。
?P是限制最小帧中心变得无限精细的帧， ?如果ψ是下半P），然后ψ（P）?LIMK∈Kψ（PK），
?如果ψ是李氏接近p，然后ψ（P，V）?0，每TΩ的v∈（P）， ?如果ψ是李氏附近：P∈INT（Ω），0∈?ψ（P）≡{∈R：ψ?（X，V）?V T S，?V∈R}，
?如果ψ是严格的微完全可微[24]在p∈Ω，那么p是一阶的关键（2.1）和（2.1）的KKT点。
需要注意的是，上述收敛结果仅仅依靠轮询步骤，和独立的代理功能和搜索步骤。此外，即使算法2.1是利用ψΩ代替ψ，收敛结果与ψ的局部平滑度有关
而不是不连续的边界Ω。
MADS在实际的应用中确保满足定理2.4的密度假设[4].
3.信赖域方法。在本节中,我们简要介绍了全局收敛性框架,无约束编程。此框架取决于一些参数的影响的主要收敛结果的影响。
要成功应对光滑的非线性非凸规划问题，从远端开始猜测，迭代必须经常被嵌入到一个全球化的计划，其中最受欢迎的是linesearch,信赖域[10],以及最近的过滤器[14,20]。前两个可能是最有名的，他们的哲学可以被看作是双重。linesearch策略计算步长，沿预定方向,而一个信赖域策略考虑所有可接受的方向但是限制了最大的步长。
3.1一个基本的信赖域算法。信赖域方法似乎可以追溯到1944年的一篇论文，他们被用来解决非线性最小二乘问题[25]。在更新规则于1966年被引入[15]规模的地区,一个特定的算法全局收敛性的证明在1970年[30]。信赖域方法形成了现在最流行的全球化计划，并经常称赞他们的稳健性和灵活性。他们是用在优化,从正则化问题到非求导和内部点方法。如需引用，历史笔记，和深入的理论发展在整个优化频谱的读者参考[10]。
为了简单起见，假设我们希望解决无约束的规划问题
P649
其中f：RN→R是两次连续可微函数，这可能是高度非线性和/或成本高昂的评估。有关问题（3.1）很好地确定，我们将假定f是下界，在迭代k，f不是直接操纵，而是由一个合适的更容易和更便宜去评估的局部模型MK去取代f。A区BK?RN，称为信赖域,定义在xk代表程度可被认为合理的模型f。信任区域被定义为球。
其中ΔK>0是当前信任区域半径和?代表Rn上任何规范。为了简化论述，我们选择了欧几里德范数，但其他的选择，是可以接受的[10]。型号MK约BK内最小化。如果减少，从而达到足够的，和如果f和MK之间的协议是令人满意的，被接受的，半径ΔK可能增加。否则，该步骤被拒绝，并且减小的半径。最后一个选项表明MK可能信任太大已在XK的附近。确保全局收敛性信赖域计划由MK上的轻度的假设和减少，应在每次迭代中实现。在实践中，最流行的模型之一是二次模型
在模型中有足够的减少试验点XK+ S，如果mk减少的至少是在Cauchy point xC得到的一部分—mk的减少的量沿着最快下降方向d = ??mk (xk )，在Bk —i.e
内。
其中0 <θ< 1是独立于k。
问题（3.1）典型的信赖区域框架可以用算法3.1表述。
更新规则（3.4）在第3步算法3.1是不是唯一一个在实践中使用，但最有可能是最常见的一种。其他规则ρk = ρ涉及多项式插补步SK （SK）的函数[12] ，而另一些设计更复杂的功能，以获取新的半径[21 ， 38] 。
如何解决3.1算法的第1步的子问题，同时确保（3.3）已经出了本文的范围。在我们的实现中所采用的方法，确保我们将简单地认为在第4节。
3.2。 收敛性的基本算法。我们回忆起在这一节中重要的全局收敛特性的算法3.1没有证据。这个证明可能发现在[10]。
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查尔斯·AUDET和多米尼克(leonard ORBAN)
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