题时要认真审题，注意排列组合知识的合理运用．
20.已知椭圆 ：
＞ ＞ 的离心率 ，过椭圆的左焦点F且倾斜角为
30°的直线与圆x2+y2=b2相交所得弦的长度为1． （I）求椭圆E的方程；
（Ⅱ）若动直线l交椭圆E于不同两点M（x1，y1），N（x2，y2），设 ， =（bx1，ay1） =ay2）（（bx2，，O为坐标原点．当以线段PQ为直径的圆恰好过点O时，求证：△MON
的面积为定值，并求出该定值．
【答案】
解：（I）由题意可得e= = ，
过椭圆的左焦点F（-c，0）且倾斜角为30°的直线方程为：y= （x+c），
由直线与圆x2+y2=b2相交所得弦的长度为1， 可得2 =2 =1，
又a2-b2=c2，
解方程可得a=2，b=1，c= ， 即有椭圆的方程为+y2=1；
（Ⅱ）证明：（1）当MN的斜率不存在时，x1=x2，y1=-y2，
， 以线段PQ为直径的圆恰好过点O，可得 ⊥
=0，即有b2x1x2+a2y1y2=0， 即有 ?
即有x1x2+4y1y2=0，即x12-4y12=0， 又（x1，y1）在椭圆上，x12+4y12=4， 可得x12=2，|y1|= ，
S△OMN= |x1|?|y1-y2|= ? ? =1；
（2）当MN的斜率存在，设MN的方程为y=kx+t， 代入椭圆方程（1+4k2）x2+8ktx+4t2-4=0， △=64k2t2-4（1+4k2）（4t2-4）=4k2-t2+1＞0， x1+x2=-，x1x2=
，
=0，即有x1x2+4y1y2=0， 又 ?
y1=kx1+t，y2=kx2+t，
（1+k2）x1x2+4kt（x1+x2）+4t2=0， 代入整理，可得2t2=1+4k2，
即有|MN|= ? = ?
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= ? ，
又O到直线的距离为d= ， S△OMN= d?|MN|= |t|?
= |t|? =1．
故△MON的面积为定值1． 【解析】
b，c的关系，（I）运用离心率公式和直线与圆相交的弦长公式，结合a，解方程可得a，
b，进而得到椭圆方程；
（Ⅱ）讨论直线MN的斜率存在和不存在，以线段PQ为直径的圆恰好过点O，可得 ，运用向量的数量积为0，联立直线方程和椭圆方程，运用韦达定理，化简整 ⊥
理，由三角形的面积公式，计算即可得到定值．
本题考查椭圆的方程的求法，注意运用离心率公式和直线与圆相交的弦长公式，考查三角形的面积的求法，注意讨论直线的斜率是否存在，联立直线方程和椭圆方程，运用韦达定理和点到直线的距离公式，考查化简整理的运算能力，属于中档题．
x
21.函数f（x）=（x-a）2（x+b）e（a，b∈R）． （1）当a=0，b=-3时．求函数f（x）的单调区间； （2）若x=a是f（x）的极大值点． （i）当a=0时，求b的取值范围；
（ii）当a为定值时．设x1，x2，x3（其中x1＜x2＜x3））是f（x）的3个极值点，问：是否存在实数b，可找到实数x4，使得x4，x1，x2，x3成等差数列？若存在求出b的值及相应的x4，若不存在．说明理由．
【答案】 解：（1）a=0，b=-3时： f（x）=x2（x-3）2ex， f′（x）=exx（x-3）（x-2）（+3），
令f′（x）＞0，解得：x＜-3或0＜x＜2或x＞3， 令f′（x）＜0，解得：-3＜x＜0或2＜x＜3， ∴f（x）在（-∞，-3），（0，2），（3，+∞）递增，在（-3，0），（2，3）递减；
xxx2x+b）2x+b）2x+b）a=0时，fx）ex，（2）（i）解：（=x（∴f（'x）=[x（]′e+x（（e）′=ex[x2+
（b+3）x+2b]，
令g（x）=x2+（b+3）x+2b，∵△=（b+3）2-8b=（b-1）2+8＞0，∴设x1＜x2是g（x）=0的两个根，
①当x1=0或x2=0时，则x=0不是极值点，不合题意；
②当x1≠0且x2≠0时，由于x=0是f（x）的极大值点，故x1＜0＜x2．∴g（0）＜0，即2b＜0，∴b＜0．
x
（ii）解：f'（x）=e（x-a）[x2+（3-a+b）x+2b-ab-a]，
令g（x）=x2+（3-a+b）x+2b-ab-a，则△=（3-a+b）2-4（2b-ab-a）=（a+b-1）2+8
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＞0，
于是，假设x1，x2是g（x）=0的两个实根，且x1＜x2．
由（i）可知，必有x1＜a＜x2，且x1、a、x2是f（x）的三个极值点， 则x1=
，x2=
，
假设存在b及x4满足题意，
①当x1，a，x2等差时，即x2-a=a-x1时， 则x4=2x2-a或x4=2x1-a，
于是2a=x1+x2=a-b-3，即b=-a-3．
此时x4=2x2-a=a-b-3+ -a=a+2 或x4=2x1-a=a-b-3- -a=a-2 ，
②当x2-a≠a-x1时，则x2-a=2（a-x1）或（a-x1）=2（x2-a） 若x2-a=2（a-x1），则x4=
，
于是3a=2x1+x2=
，
即 =-3（a+b+3）．
两边平方得（a+b-1）2+9（a+b-1）+17=0，∵a+b+3＜0，于是a+b-1=
此时b=-a-此时x4=
，
=-b-3=a+ ．
=
②若（a-x1）=2（x2-a），则x4=
， ，
于是3a=2x2+x1=
即 =3（a+b+3）
两边平方得（a+b-1）2+9（a+b-1）+17=0，∵a+b+3＞0，于是a+b-1= ，
此时b=-a-
，此时x4=
═-b-3=a+
，
综上所述，存在b满足题意， 当b=-a-3时，x4=a±2 ， b=-a- 时，x4=a+ ，
b=-a- 时，x4=a+ ．
【解析】
（1）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可； （2）（i）函数g（x）=x2+（b+3）x+2b，结合x=a是f（x）的一个极大值点，我们分析函数g（x）=x2+（b+3）x+2b的两个零点与0的关系，即可确定b的取值范围；
x
（ii）由函数f（x）=（x-a）2（x+b）e，我们易求出f'（x）的解析式，由（I）可得x1、a、x2是f（x）的三个极值点，求出x1，x2，分别讨论x1、a、x2是x1，x2，x3，x4的某种排列构造等差数列时其中三项，即可得到结论．
本题主要考查函数极值的概念、导数运算法则、导数应用及等差数列等基础知识，同时考查推理论证能力、分类讨论等综合解题能力和创新意识．
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