现代控制理论复习题[1]

《现代控制理论》复习题1

二、（15分）考虑由下式确定的系统： G(s)?s?3 试求其状态空间实现2s?3s?2的能控标准型、能观标准型和对角线标准型，并画出能控标准型的状态变量图。 解： 能控标准形为

?1??01??x1??0??x??x???2?3??x???1?u???2????2???

?x?y??31??1??x2?能观测标准形为

?1??0?2??x1??3??x?x???1?3??x???1?u???2????2???

?x1?y??01????x2?对角标准形为

?1???10??x1??1??x?????u?x??????2??0?2??x2??1???

x??y??2?1??1??x2?三、（10分）在线性控制系统的分析和设计中，系统的状态转移矩阵起着很重要的作用。对系统

1??0???x?x?

?2?3??求其状态转移矩阵。?

解：解法1。

容易得到系统状态矩阵A的两个特征值是?1??1,矩阵A可以对角化。矩阵A对应于特征值?1??1,?2??2，它们是不相同的，故系统的?2??2的特征向量是

?1??1???,??1?取变换矩阵 T???1?1??2???

??2??11??1， 则 T???2??1????

?1?1?1?2?????21?因此， D?TAT从而，

?1??10? ????0?2?eAt?e?t?T??0?1?t1??e?t0??1T?????2t?e???1?2??0?2t0??21????e?2t???1?1??2e?e???t?2t?2e?2e?解法2。拉普拉斯方法

由于

???e?t?2e?2t?e?e

?t?2t

?s?1??s?31?11?1(sI?A)????det(sI?A)adj(sI?A)?s(s?3)?2??2s?2s?3????s?31???2111?

???(s?1)(s?2)(s?1)(s?2)????????s?1s?2s?1s?2??2s?12????2?2????(s?1)(s?2)(s?1)(s?2)s?1s?2s?1s?2????故 ?(t)?eAt?1?2e?t?e?2t?L[(sI?A)]???t?2t??2e?2e?1?1e?t?e?2t? ?t?2t??e?2e?解法3。凯莱-哈密尔顿方法

将状态转移矩阵写成 eAt?a0(t)I?a1(t)A 系统矩阵的特征值是-1和-2，故 e?t?a0(t)?a1(t)解以上线性方程组，可得 a0(t)?2e?t?e?2t因此， ?(t)?eAte?2t?a0(t)?2a1(t) a1(t)?e?t?e?2t

?2e?t?e?2t?a0(t)I?a1(t)A???t?2t?2e?2e?

e?t?e?2t??

?e?t?2e?2t???Ax?Bu,四、（15分）已知对象的状态空间模型xy?Cx,是完全能观的，请画出观

测器设计的框图，并据此给出观测器方程，观测器设计方法。

解 观测器设计的框图：

观测器方程：

~??A~xx?Bu?L(y?Cx)?

~?(A?LC)x?Bu?Lyx是观测器的维状态，L是一个n×其中：~p维的待定观测器增益矩阵。

观测器设计方法：

由于 det[?I?(A?LC)]?det[?I?(A?LC)T]?det[?I?(AT?CTLT)] 因此，可以利用极点配置的方法来确定矩阵L，使得A?CL具有给定的观测器极点。具体的方法有：直接法、变换法、爱克曼公式。

五、（15分）对于一个连续时间线性定常系统，试叙述Lyapunov稳定性定理，并举一个二阶系统例子说明该定理的应用。

解 连续时间线性时不变系统的李雅普诺夫稳定性定理：

TTT??Ax在平衡点xe?0处渐近稳定的充分必要条件是：对任意给定的对称线性时不变系统x正定矩阵Q，李雅普诺夫矩阵方程ATP?PA??Q有惟一的对称正定解P。 在具体问题分析中，可以选取Q = I。

?1??01??x1??x考虑二阶线性时不变系统： ??????x? ?x?1?1??2??2??原点是系统的惟一平衡状态。求解以下的李雅普诺夫矩阵方程 AP?PA??I 其中的未知对称矩阵 P??T?p11?p12p12? ?p22?p12??01???10? ??????p22???1?1??0?1?将矩阵A和P的表示式代入李雅普诺夫方程中，可得

?0?1??p11?1?1??p???12进一步可得联立方程组

p12??p11???p22??p12?2p12??1p11?p12?p22?0 2p12?2p22??1从上式解出p11、p12和p22，从而可得矩阵 P??根据塞尔维斯特方法，可得 ?1??p11?p12p12??3/21/2? ????p22??1/21?5?0 43?02?2?detP?故矩阵P是正定的。因此，系统在原点处的平衡状态是大范围渐近稳定的。 六、（10分）已知被控系统的传递函数是

G(s)?10

(s?1)(s?2)试设计一个状态反馈控制律，使得闭环系统的极点为-1 ± j。 解 系统的状态空间模型是

1??0?0????x?x??1?u??

?2?3????y??100?x将控制器 u???k0k1?x 代入到所考虑系统的状态方程中，得到闭环系统状态方程

?0???x??2?k0?x???3?k1?1该闭环系统的特征方程是 det(?I?Ac)??2?(3?k1)??(2?k0) 期望的闭环特征方程是 (??1?j)(??1?j)??2?2??2 通过 ?2?(3?k1)??(2?k0)??2?2??2 可得 3?k1?2从上式可解出 k1??12?k0?2 k0?0

因此，要设计的极点配置状态反馈控制器是 u??01???x1? ??x2?七、（10分）证明：等价的状态空间模型具有相同的能控性。 证明 对状态空间模型

??Ax?Bux

y?Cx?Du它的等价状态空间模型具有形式

??Ax?Buxy?Cx?Du其中：

A?TAT?1?c[A,B]?[BB?TBC?CT?1D?D

T是任意的非奇异变换矩阵。利用以上的关系式，等价状态空间模型的能控性矩阵是

AB?An?1B]n?1?[TBTAT?1TB?(TAT?1)n?1TB]?T[BAB?AB]?T?c[A,B]??

由于矩阵T是非奇异的，故矩阵?c[A,B]，和?c[A,B]具有相同的秩，从而等价的状态空间