则这个球的体积为________． 9答案 π
2
解析 设正方体的棱长为a，则6a＝18，∴a＝3. 设球的半径为R，则由题意知2R＝a＋a＋a＝3， 3∴R＝.
2
44?3?393
故球的体积V＝πR＝π×??＝π.
33?2?2
4．(2017·全国Ⅰ)已知三棱锥S—ABC的所有顶点都在球O的球面上，SC是球O的直径．若平面SCA⊥平面SCB，SA＝AC，SB＝BC，三棱锥S—ABC的体积为9，则球O的表面积为________． 答案 36π
解析 如图，连接OA，OB.
2
2
2
2
由SA＝AC，SB＝BC，SC为球O的直径知，OA⊥SC，OB⊥SC. 由平面SCA⊥平面SCB，平面SCA∩平面SCB＝SC， ∴OA⊥平面SCB. 设球O的半径为r，则
OA＝OB＝r，SC＝2r，
∴三棱锥S－ABC的体积 11rV＝××SC×OB×OA＝， 323
即＝9，∴r＝3，∴球O的表面积S＝4πr＝36π. 3押题预测
1．一个几何体的三视图及其尺寸如图所示，则该几何体的表面积为( )
3
r3
2
A．16
B．82＋8
11
C．22＋26＋8 D．42＋46＋8
押题依据 求空间几何体的表面积或体积是立体几何的重要内容之一，也是高考命题的热点．此类题常以三视图为载体，给出几何体的结构特征，求几何体的表面积或体积． 答案 D
解析 由三视图知，该几何体是底面边长为2＋2＝22的正方形，高PD＝2的四棱锥P－
2
2
ABCD，因为PD⊥平面ABCD，且四边形ABCD是正方形，
易得BC⊥PC，BA⊥PA，
又PC＝PD＋CD＝2＋?22?＝23， 1
所以S△PCD＝S△PAD＝×2×22＝22，
2
2
2
2
2
S△PAB＝S△PBC＝×22×23＝26.
所以几何体的表面积为46＋42＋8.
2．在正三棱锥S－ABC中，点M是SC的中点，且AM⊥SB，底面边长AB＝22，则正三棱锥
12
S－ABC的外接球的表面积为( )
A．6π C．32π
B．12π D．36π
押题依据 灵活运用正三棱锥中线与棱之间的位置关系来解决外接球的相关问题，是高考的热点． 答案 B
解析 因为三棱锥S－ABC为正三棱锥，所以SB⊥AC，又AM⊥SB，AC∩AM＝A，AC，AM?平面
SAC，所以SB⊥平面SAC，所以SB⊥SA，SB⊥SC，同理SA⊥SC，即SA，SB，SC三线两两垂直，
且AB＝22，所以SA＝SB＝SC＝2，所以(2R)＝3×2＝12，所以球的表面积S＝4πR＝12π，故选B.
2
2
2
3．已知半径为1的球O中内接一个圆柱，当圆柱的侧面积最大时，球的体积与圆柱的体积的比值为________．
12
押题依据 求空间几何体的体积是立体几何的重要内容之一，也是高考的热点问题之一，主要是求柱体、锥体、球体或简单组合体的体积．本题通过球的内接圆柱，来考查球与圆柱的体积计算，命题角度新颖，值得关注． 答案
42
3
解析 如图所示，设圆柱的底面半径为r，
则圆柱的侧面积为
S＝2πr×21－r2
＝4πr1－r≤4π×
2
r2＋?1－r2?
2
＝2π
2??
?当且仅当r2＝1－r2，即r＝时取等号?.
2??
2V球42
时，＝＝. 2V圆柱3?2?2
π??×2?2?
4π3
×13
所以当r＝
A组 专题通关
1．(2018·济南模拟)如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，P为BD1的中点，则△PAC在该正方体各个面上的正投影可能是( )
13
A．①② C．②③ 答案 B
B．①④ D．②④
解析 P点在上下底面投影落在AC或A1C1上，所以△PAC在上底面或下底面的投影为①，在前、后面以及左、右面的投影为④.
2．(2018·百校联盟联考)如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的表面积为( )
21
A.＋3＋42 221
C.＋42 2答案 D
解析 由三视图可知该几何体为一个直三棱柱削掉一个三棱锥所得，
B．10＋
3
＋42 2
D.
21＋3
＋42 2
123121＋3222
所以其表面积为2×2＋×2×2＋22×2＋×(2)－×1×3＝＋42.
24223．(2017·全国Ⅰ)某多面体的三视图如图所示，其中正(主)视图和侧(左)视图都由正方形和等腰直角三角形组成，正方形的边长为2，俯视图为等腰直角三角形，该多面体的各个面中有若干个是梯形，这些梯形的面积之和为( )
A．10 C．14
B．12 D．16
14
答案 B
解析 观察三视图可知，该多面体是由直三棱柱和三棱锥组合而成的，且直三棱柱的底面是直角边长为2的等腰直角三角形，侧棱长为2.三棱锥的底面是直角边长为2的等腰直角三角形，高为2，如图所示．因此该多面体各个面中有两个梯形，且这两个梯形全等，梯形的上1
底长为2，下底长为4，高为2，故这两个梯形的面积之和为2××(2＋4)×2＝12.故选B.
2
4．某几何体的正(主)视图和侧(左)视图如图(1)所示，它的俯视图的直观图是△A′B′C′，如图(2)所示，其中O′A′＝O′B′＝2，O′C′＝3，则该几何体的表面积为( )
A．36＋123 C．24＋123 答案 C
解析 由图(2)可知，该几何体的俯视图是一个底面边长为4，高为23的等腰三角形，即该三角形为等边三角形，在如图所示的长方体中，长、宽、高分别为4,23，6，三视图还原11
为几何体是图中的三棱锥P－ABC，且S△PAB＝S△PBC＝×4×6＝12，S△ABC＝×4×23＝43，
22△PAC是腰长为52，底面边长为4的等腰三角形，S△PAC＝83.综上可知，该几何体的表面积为2×12＋43＋83＝24＋123.故选C.
B．24＋83 D．36＋83
15
相关推荐：
loading