5．(2018·张掖市质量诊断)已知如图所示的三棱锥D－ABC的四个顶点均在球O的球面上，△ABC和△DBC所在的平面互相垂直，AB＝3，AC＝3，BC＝CD＝BD＝23，则球O的表面积为( )
A．4π C．16π 答案 C
解析 如图所示，∵AB＋AC＝BC，∴∠CAB为直角，即△ABC外接圆的圆心为BC的中点
2
2
2
B．12π D．36π
O′.△ABC和△DBC所在的平面互相垂直，则球心在过△DBC的圆面上，即△DBC的外接圆为
球的大圆，由等边三角形的重心和外心重合，易得球半径R＝2，球的表面积为S＝4πR＝16π，故选C.
2
6．(2018·衡水金卷信息卷)已知正四棱锥P－ABCD的各顶点都在同一球面上，底面正方形的边长为2，若该正四棱锥的体积为2，则此球的体积为( ) A.
124π625π500π256π
B. C. D. 381819
答案 C
解析 如图所示，设底面正方形ABCD的中心为O′，正四棱锥P－ABCD的外接球的球心为O，
16
∵底面正方形的边长为2， ∴O′D＝1，
∵正四棱锥的体积为2，
12
∴VP－ABCD＝×(2)×PO′＝2，解得PO′＝3，
3∴OO′＝|PO′－PO|＝|3－R|，
在Rt△OO′D中，由勾股定理可得OO′＋O′D＝OD， 5222
即(3－R)＋1＝R，解得R＝，
3434?5?3500π.
∴V球＝πR＝π×??＝
3381?3?
7．在三棱锥S－ABC中，侧棱SA⊥底面ABC，AB＝5，BC＝8，∠ABC＝60°，SA＝25，则该三棱锥的外接球的表面积为( ) 64
A.π 3C.436
π 3
B.256π 3
2 0483
π 27
2
2
2
D.
答案 B
解析 由题意知，AB＝5，BC＝8，∠ABC＝60°， 则根据余弦定理可得
AC2＝AB2＋BC2－2×AB×BC×cos∠ABC，
解得AC＝7，
设△ABC的外接圆半径为r，则 △ABC的外接圆直径2r＝
ACsin B＝732
，∴r＝
73
，
又∵侧棱SA⊥底面ABC，
1
∴三棱锥的外接球的球心到平面ABC的距离d＝SA＝5，则外接球的半径R＝
2
?7?22??＋(5)＝?3?
642562
，则该三棱锥的外接球的表面积为S＝4πR＝π. 33
8．(2018·北京海淀区模拟)某几何体的正(主)视图和俯视图如图所示，在下列图形中，可能是该几何体侧(左)视图的图形是________．(写出所有可能的序号)
17
答案 ①②③
解析 如图a三棱锥C－ABD，正(主)视图与俯视图符合题意，侧(左)视图为①； 如图b四棱锥P－ABCD，正(主)视图与俯视图符合题意，侧(左)视图为②； 如图c三棱锥P－BCD，正(主)视图与俯视图符合题意，侧(左)视图为③.
9．(2018·安徽省“皖南八校”联考)如图1所示是一种生活中常见的容器，其结构如图2，其中ABCD是矩形，ABFE和CDEF都是等腰梯形，且AD⊥平面CDEF，现测得AB＝20 cm，AD＝15 cm，EF＝30 cm，AB与EF间的距离为25 cm，则几何体EF－ABCD的体积为________cm.
3
答案 3 500
解析 在EF上，取两点M，N(图略)，分别满足EM＝NF＝5，连接DM，AM，BN，CN，则该几何体就被分割成两个棱锥和一个棱柱，根据柱、锥体的体积公式以及题中所给的相关量，可111
以求得V＝×20×15×20＋2×××20×15×5＝3 500.
232
10．(2018·全国Ⅲ改编)设A，B，C，D是同一个半径为4的球的球面上四点，△ABC为等边三角形且其面积为93，则三棱锥D－ABC体积的最大值为________． 答案 183
解析 由等边△ABC的面积为93，可得所以AB＝6，
18
32
AB＝93， 4
所以等边△ABC的外接圆的半径为r＝
3
AB＝23. 3
2
2
设球的半径为R，球心到等边△ABC的外接圆圆心的距离为d，则d＝R－r＝16－12＝2. 所以三棱锥D－ABC高的最大值为2＋4＝6，
1
所以三棱锥D－ABC体积的最大值为×93×6＝183.
3
7
11．(2018·全国Ⅱ)已知圆锥的顶点为S，母线SA，SB所成角的余弦值为，SA与圆锥底面
8所成角为45°，若△SAB的面积为515，则该圆锥的侧面积为________． 答案 402π 解析 如图，
∵SA与底面所成角为45°， ∴△SAO为等腰直角三角形． 设OA＝r，则SO＝r，SA＝SB＝2r. 7
在△SAB中，cos∠ASB＝，
8∴sin∠ASB＝15， 8
1
∴S△SAB＝SA·SB·sin∠ASB
21152＝(2r)·＝515， 28解得r＝210，
∴SA＝2r＝45，即母线长l＝45， ∴S圆锥侧＝πr·l＝π×210×45＝402π.
π12．(2018·华大新高考联盟质检)已知二面角α－l－β的大小为，点P∈α，点P在β 内
3的正投影为点A，过点A作AB⊥l，垂足为点B，点C∈l，BC＝22，PA＝23，点D∈β，且四边形ABCD满足∠BCD＋∠DAB＝π.若四面体PACD的四个顶点都在同一球面上，则该球的体积为________． 答案 86π
解析 ∵∠BCD＋∠DAB＝π，
19
∴A，B，C，D四点共圆，直径为AC. ∵PA⊥平面β，AB⊥l， ∴由三垂线定理得PB⊥l，
即∠PBA为二面角α－l－β的平面角， π
即∠PBA＝，
3∵PA＝23，∴BA＝2， ∵BC＝22，∴AC＝23. 设球的半径为R，则23－
R2－(3)2＝R2－(3)2，
4π3
∴R＝6，V＝(6)＝86π.
3
B组 能力提高
13．若四棱锥P－ABCD的三视图如图所示，则该四棱锥的外接球的表面积为( )
A.
81π81π101π101π
B. C. D. 520520
答案 C
解析 根据三视图还原几何体为一个四棱锥P－ABCD，如图所示，平面PAD⊥平面ABCD，
由于△PAD为等腰三角形，PA＝PD＝3，AD＝4，四边形ABCD为矩形，CD＝2，过△PAD的外心
F作平面PAD的垂线，过矩形ABCD的中心H作平面ABCD的垂线，两条垂线交于一点O，则O3＋3－4145为四棱锥外接球的球心，在△PAD中，cos∠APD＝＝，则sin∠APD＝，
2×3×399
2
2
2
20
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