R
图5-5
3．将温度为100?C的沸水注入杯中，放在室温为20?C的环境中自然冷却，5min后测得温度为60?C．求水温与时间的函数关系，并计算水温自100?C降至30?C所需时间．
4．设有一弹簧上端固定，下端挂着一个质量为0.025kg的物体．先将物体用手拉到离平衡位置0.04m处，然后放手，让物体自由振动．若物体所受的阻力大小与运动速度成正比，方向相反，弹簧的弹性系数k?0.625N/m，阻尼系数??0.2N?s/m．求物体的运动规律． 知识拓展：
马尔萨斯（Malthus）模型
马尔萨斯（Malthus）模型是最简单的生态学模型．给定一个种群，我们的目的是确定种群的数量是如何随着时间发展变化的．为此，我们作出如下假设：
模型假设：
1.初始种群规模已知x(0)?x0，种群数量非常大，世代互相重叠，因此种群的数量可以看作是连续变化的；
2.种群在空间分布均匀，没有迁入和迁出（或迁入和迁出平衡）；
3.种群的出生率和死亡率为常数，即不区分种群个体的大小、年龄、性别等； 4.环境资源是无限的．
确定变量和参数：为把问题转化为数学问题，我们首先确定建模中所需变量和参数： ，x(t)：t时刻的种群密度，b：瞬时出生率，d：瞬时死亡率． t：时间（自变量）模型的建立与求解：
考察时间段[t,t??t]（不失一般性，设?t?0），由物质平衡原理，在此时间段内种群的数量满足：
t??t时刻种群数量?t时刻种群数量??t内新出生个体数??t内死亡个体数，
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即
x(t??t)?x(t)?bx(t)?t?dx(t)?t
亦即 令?t?0，可得
x(t??t)?x(t)?(b?d)x(t)
?tdx(t)?(b?d)x(t):??x(t) dt满足初始条件x(0)?x0的解为
x(t)?x0e(b?d)t?x0e?t
于是有
??0时，即b?d，则有limx(t)???，
t????0时，即b?d，则有limx(t)?x0，
t????0时，即b?d，则有limx(t)?0．
t??马尔萨斯（Malthus）模型的积分曲线x(t)呈“J”字型，因而种群的指数增长又称为“J”型增长．人也是一种生物种群，人口预测问题就是在马尔萨斯（Malthus）模型的基础上通过修改而得以解决。
本章小结
一、内容提要
18
微分方程 偏微分方程 常微分方程 一阶微分方程 可降阶微分方程 二阶常系数线性微分方程 f(x,y,y?)?0 y(n)?f(x) y???f(x,y?) y???f(y,y?) y???py??qy?f(x) 可分离变量微分方程 一阶线性微分方程 齐次方程 非齐次方程 dy?f(x)g(y) dx
二、学习重点
y??P(x)y?Q(x)f(x)?0 f(x)?0 1. 基本概念：微分方程的定义、阶、解、通解、特解、初始条件、初值问题；函数的线性相关与线性无关；二阶常系数线性微分方程解的结构特征；特征方程、特征根等．
2. 微分方程的解法： （1）一阶微分方程的解法： 方程类型 可分离变量方程 方程形式 方程解法 分离变量法（分离变量，两边积分） dy?f(x)g(y) dx齐次方程 一阶线性方程 y??P(x)y?0 非齐次方程 ?P(x)dx分离变量法或用通解公式y?Ce? 常数变易法或用通解公式 19
y??P(x)y?Q(x) ?P(x)dx??P(x)dxdx?C?y?e?Q(x)e????? （2）可降阶微分方程的解法：
方程形式 方程解法 对y(n)?f(x)连续积分n次． 令y??p(x)，原方程化为p??f(x,p)．设其通解为y(n)?f(x) y???f(x,y?) y??p(x)??(x,C1)．两边积分，即得原方程通解 y??(x,C1)dx?C2． y???f(y,y?) 令y??p(y)，原方程化为p?p?f(y,p)．设其通解为?dy?p(y)??(y,C1)．用分离变量法，即得原方程通解 dx?dy?x?C2． ?(y,C1)（3）二阶常系数线性齐次微分方程的解法(特征方程法)： 特征方程r2?pr?q?0的根的情况 有两个不相等实根r1?r2 有两个相等实根r1?r2?r??y???py??qy?0的通解 y?C1er1x?C2er2x p 2y?(C1?C2x)erx y?e?x(C1cos?x?C2sin?x) 有一对共轭复根r1???i?，r2???i? （4）二阶常系数线性非齐次微分方程的解法（待定系数法）： 自由项f(x)的形式 y???py??qy?f(x)的通解为y?Y(x)?y?(x) ,k?0??不是特征根时?y??xkQn(x)e?x，??是单特征根时,k?1 ??是二重特征根时,k?2?f(x)?Pn(x)e?x 20
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