1996年考研数学三真题及全面解析

1996年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题解析

一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分,把答案填在题中横线上.) (1)【答案】

dx

x?1?lny?yy【解析】方法1：方程x?y两边取对数得lnx?lny?ylny,再两边求微分,

11dx??lny?1?dy?dy?dx?x?lny?1??0?. xx?lny?1?ylny方法2：把x?y变形得x?e,然后两边求微分得

ydx?eylnyd?ylny??yy?1?lny?dy?x?1?lny?dy,

由此可得 dy?1dx.

x?1?lny?23(2)【答案】?13?1?x??C

【解析】由xf(x)dx?arcsinx?C,两边求导数有

?xf(x)??arcsinx???11?x2?1?x1?x2, f(x)于是有

?11dx??x1?x2dx??1?x2dx2 f(x)2??122 1?xd1?x???231???1?x2??C.

3(3)【答案】

c2?c),b任意 ?0(或ax0a2【解析】对y?ax?bx?c两边求导得y??2ax?b,y??x0??2ax0?b, 所以过?x0,y0?的切线方程为y?y0??2ax0?b??x?x0?,即

2y??ax0?bx0?c???2ax0?b??x?x0?.

又题设知切线过原点?0,0?,把x?y?0代入上式,得

222?c. ?ax0?bx0?c??2ax0?bx0,即ax0由于系数a?0,所以,系数应满足的关系为(4)【答案】?1,0,0,L0?

Tc2?c),b任意. ?0(或ax0a【解析】因为A是范德蒙行列式,由ai?aj知A?秩的关系,所以方程组ATX?B有唯一解.

根据克莱姆法则,对于

??a?a??0.根据解与系数矩阵

ij?1??1?1??M?1?a1a2a3Mana122a22a3M2anLLLLa1n?1??x1??1???1?n?1??xa22?????n?1?a3?x3???1?, ?????M??M??M?n?1??an?1??????xn?易见 D1?A,D2?D3?L?Dn?0.

T所以AX?B的解为x1?1,x2?x3?L?xn?0,即?1,0,0,L,0?.

T【相关知识点】克莱姆法则：若线性非齐次方程组

?a11x1?a12x2?L?a1nxn?b1,?ax?ax?L?ax?b,?2112222nn2 ??LLLLLLLLLL??an1x1?an2x2?L?annxn?bn.或简记为 其系数行列式

?axijj?1nj?bi,i?1,2,L,n

D?a11a21a12La22La1na2nMannMMan1an2LDjD?0,

则方程组有唯一解

xj?,j?1,2,L,n.

其中Dj是用常数项b1,b2,L,bn替换D中第j列所成的行列式,即

a11LDj?a21LMan1L(5)【答案】(4.412,5.588) 【解析】可以用两种方法求解：

a1,j?1b1a1,j?1La1na2n. Manna2,j?1b2a2,j?1LMMMan,j?1bnan,j?1L(1)已知方差??0.9,对正态总体的数学期望?进行估计,可根据

221n因X:N(?,0.9),设有n个样本,样本均值X??Xi,

ni?120.92X?E(X)),将其标准化,由公式有X:N(?,~N(0,1)得： nD(X)nX??~N(0,1) 1n??X?????u???1??可确定临界值u?, 由正态分布分为点的定义P?2??1n2??进而确定相应的置信区间(x?u??2n,x?u??2n).

(2)本题是在单个正态总体方差已知条件下,求期望值?的置信区间问题. 由教材上已经求出的置信区间?x?u????2n,x?u???2?,

n???其中P?U?u???1??,U:N(0,1),可以直接得出答案.

?2?方法1：由题设,1???0.95,可见??0.05.查标准正态分布表知分位点u??1.96.本

2题n?9, X?5, 因此,根据 P{X???1.96}?0.95,有 1nP{5???1.96}?0.95,即 P{4.412???5.588}?0.95, 19故?的置信度为0.95的置信区间是(4.412,5.588) .

方法2：由题设,1???0.95,

P{U?u?}?P{?u??U?u?}?2?(u?)?1?0.95,?(u?)?0.975

22222查得u??1.96.

2??0.92,n?9, X?5代入(x?u??2n,x?u??2n)得置信区间(4.412,5.588).

二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内.) (1)【答案】(D)

【解析】方法1：由题设知,积分区域在极坐标系x?rcos?,y?rsin?中是

???D???r,??|0???,0?r?cos??,

2??1?1?即是由?x???y2?与x轴在第一象限所围成的

2?4?平面图形,如右图.

由于D的最左边点的横坐标是0,最右点的横坐标是1, 下边界方程是y?0,上边界的方程是y?的直角坐标表示是

2y 12 x?x,从而D x?x2,

2O 121 x D???x,y?|0?x?1,0?y??故(D)正确.

方法2：采取逐步淘汰法.由于(A)中二重积分的积分区域的极坐标表示为

???D1???r,??|0???,0?r?sin??,

2??而(B)中的积分区域是单位圆在第一象限的部分, (C)中的积分区域是正方形

??x,y?|0?x?1,0?y?1?,

所以,他们都是不正确的.故应选(D).

(2)【答案】(A) 【解析】由于级数

?un?1?2n和

?vn?1?2n都收敛,可见级数

??un?1?2n2?vn?收敛.由不等式

22 2unvn?un?vn