2020年高考数学二轮复习专项微专题核心考点突破
专题29解析几何中的定点与定值问题
考点命题分析
定点与定值问题是解析几何中的高频考点，在近几年的考题中层出不穷.圆锥曲线的有关定点、定值等综合性问题涉及圆锥曲线的定义、几何性质、直线与圆锥曲线位置关系等知识，同时又与函数、不等式、方程、平面向量等代数知识紧密联系.求解这类问题时，需要有较强的代数运算能力和图形识别能力，要能准确地进行数与形的语言转换和运算，合理猜想并仔细推理论证，对熟练运用所学知识分析问题、解决问题的能力要求较高，较大部分学生对此类问题望而生畏.
定点问题主要是曲线系(直线系)过定点的问题，反映的是数学对象的本质属性，如圆锥曲线的某些特有性质，因此，常见某些具有圆锥曲线的性质背景的题目(如蒙日圆、阿基米德三角形等).定值问题主要涉及面积、面积比、斜率、长度、角度等几何量的定值，也涉及动点运动轨迹中的某些不变因素.处理这两大类问题时可以直接推理求出定点、定值，也可以从特殊情形、极限状态、图形的对称性等方面入手猜测结论，再证明这个点(值)与变量无关，通过特殊值法探求定点、定值能达到事半功倍的效果.同时，要设定合理的变量，准确把握各变量的数量关系，要善于捕捉题目信息，合理变形、消元，并注意整体思想的熟练应用.
1定点问题
曲线系(直线系)过定点的问题是一类常考题型，这类问题以直线和圆锥曲线为载体，结合其他条件探究或证明直线、曲线过定点或动点在定直线上等问题.试题条件中一般含有两个参数，解题过程就是利用条件消参的过程，因此，此类问题的求解往往伴随着一定的计算.
具体来讲，若是证明直线过定点，可将直线设为斜截式，然后消掉一个参数，即得直线所过的定点；证明圆过定点时，常利用直径所对圆周角为直角转化为向量的数量积恒为零处理；证明其他曲线过定点的问题时，经常将曲线中的参变量集中在一起，令其系数等于零，解得定点. 例1椭圆
两点，且△ABF2的周长为8 (I)求椭圆E的方程；
(Ⅱ)设动直线l:y=kx+m与椭圆有且只有一个公共点P，且与直线x=4相交于点Q.试探究:在坐标平面内是否
的左焦点为F1，右焦点为F2，离心率.过F1的直线交椭圆于A，B
存在定点M，使得以PQ为直径的圆恒过点M?若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由. 总结起来，应注意如下几点:
首先，仔细研究题干，认清问题本质，找准思路，预计求解过程中遇到的各种情况，也就是要想得明白，思路通畅可操作；
其次，找准主元，引入参数，建立各个量间的数量关系，运用消元变形、推理运算等手段证明定点、定值问题；
再次，要努力突破计算关、心理关，认真仔细计算、准确规范，随时检查，树立信心，只要方向正确就一算到底；
最后，必须树立数形结合意识，善于把握问题的特定信息，运用对称性、特殊性猜想定点、定值，然后证明，要仔细分析图中的点、线等关系，挖掘隐含条件，往往能取得出奇制胜的效果. 2定值问题
定值问题与最值问题属同一类问题，都是在一个运动变化过程中，由某个变量的变化引起另一个量的变化或不变的问题.此类问题的求解的一种思路是找准变化的主元，设为参数，建立参变量与其他量的关系(如函数关系、方程关系、不等式关系等)，探求目标式，通过代数运算将目标式用参变量表示出来，这一步是求解的难点也是关键所在，然后再恒等变形得到定值.另一种思路是通过特殊值或极端情形探索出定值是多少，然后进行一般性计算或证明，探索出的定值也可以作为检验结果正确与否的试金石. 例2已知椭圆
(I)求椭圆C的标准方程；
(Ⅱ)点P(m，0)为椭圆C长轴上的一个动点，过点P且斜率为的直线l交椭圆C于A，B两点，求证:例3已知点原点，PF1⊥x轴. (I)求椭圆E的方程；
(Ⅱ)设A，B是椭圆上两个动点，
(0<<4，且≠2).求证:直线AB的斜率等于定值.
为定值.
是椭圆
上一点，
分别是椭圆E的左、右焦点，O是坐标
的离心率为.过左焦点F且垂直于长轴的弦长为.
最新模拟题强化
x2y21．在椭圆C:2?2?1(2b?a?b?0)上任取一点P（P不为长轴端点），连结PF1、PF2，并延长与
ab椭圆C分别交于点A、B两点，已知?APF2的周长为8，?F1PF2面积的最大值为3. （1）求椭圆C的方程；
（2）设坐标原点为O，当P不是椭圆的顶点时，直线OP和直线AB的斜率之积是否为定值？若是定值，请求出这个定值；若不是定值，请说明理由. 2．已知椭圆C：3x2?4y2?12. （1）求椭圆C的离心率；
（2）设A,B分别为椭圆C的左右顶点,点P在椭圆C上,直线AP,BP分别与直线x?4相交于点M,N.当点P运动时,以M,N为直径的圆是否经过x轴上的定点？试证明你的结论.
x2y23．已知椭圆C:2?2?1?a?b?0?的长轴长是短轴长的两倍，焦距为23．
ab
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）设A,B是四条直线x??a,y??b所围成的两个顶点,P是椭圆C上的任意一点,若
uuuruuuruuurOP?mOA?nOB，求证：动点Q?m,n?在定圆上运动．
4．已知抛物线E：y2?2px经过点P?4,4?，过点Q?0,2?作直线l交E于A，B两点，PA、PB分别交直线x??4于M，N两点. 3（1）求E的方程和焦点坐标； （2）设D???4?,0?，求证：DM?DN为定值. 3??25．已知抛物线C:y?2px?p?0?上一点P?x0,?4?到焦点F的距离PF?2x0. （1）求抛物线C的方程；
（2）设直线l与抛物C交于A，B两点（A，B异于点P），且kAP?kBP??2，试判断直线l是否过定点？若过定点，求出该定点的坐标；若不过定点，请说明理由.
x2y26．已知椭圆C:2?2?1?a?b?0?的左右顶点分别为A1,A2，左右焦点为分别为F1,F2，焦距为2，离
ab心率为
1. 2（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；
（Ⅱ）若P为椭圆上一动点，直线l1过点A1且与x轴垂直，M为直线A2P与l1的交点，N为直线A1P与直线MF2的交点，求证：点N在一个定圆上.
x2y227．已知椭圆C:2?2?1?a?b?0?的离心率e?，且椭圆过点
2ab（1）求椭圆C的标准方程；
?2,1
?uuuuruuuruuur（2）设直线l与C交于M、N两点，点D在椭圆C上，O是坐标原点，若OM?ON?OD，判定四边
形OMDN的面积是否为定值？若为定值，求出该定值；如果不是，请说明理由.
x2y28．已知椭圆C:2?2?1的右焦点为(1,0)，且经过点A(0,1).
ab（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）设O为原点，直线l:y?kx?t(t??1)与椭圆C交于两个不同点P，Q，直线AP与x轴交于点M，直线AQ与x轴交于点N，若|OM|·|ON|=2，求证：直线l经过定点.
x2y29．椭圆C:2?2?1（a?b?0）的左、右焦点分别为F1,F2，M在椭圆上，?MF1F2的周长为25?4，
ab面积的最大值为2. （1）求椭圆C的方程；
（2）直线y?kx（k?0）与椭圆C交于A,B，连接AF2，BF2并延长交椭圆C于D,E，连接DE，探索AB与DE的斜率之比是否为定值并说明理由.
10．已知直线l:x??2，点F(2,0),M是直线l上的动点，过点M作直线l??l，线段MF的垂直平分线交l?于点P，记点P运动的轨迹为E. （1）求E的方程；
（2）已知A?E，且点D满足AF?2FD，经过D的直线交E于B,C两点，且D为BC的中点，证明：
uuuruuur|AF|?|BF|?|CF|为定值.
11．已知抛物线C；y2?2px过点A?1,1?．
?1?求抛物线C的方程；
?2?过点P?3,?1?的直线与抛物线C交于M，N两个不同的点(均与点A不重合)，设直线AM，AN的斜
率分别为k1，k2，求证：k1?k2为定值．
x2y212．设椭圆C:2?2?1?a?b?0?的左、右焦点分别为F1,F2，左项点为A上顶点为B.已知
abAB?15F1F2. 6（1）求椭圆的离心率；
（2）设P为椭圆C上在第一象限内一点,射线PO与椭圆C的另一个公共点为Q,满足QP?mAB，直线
uuuvuuuvBQ交x轴于点，△ABD的面积为2?2. (i)求椭圆C的方程. (ii)过点???6?,0?作不与y轴垂直的直线l交椭圆C于M,N（异于点A）两点，试判断?MAN的大小是?5?否为定值，并说明理由.
13．在平面直角坐标系xOy中，曲线C上的点S(x,y)到点M(3,0)的距离与它到直线x?4的距离之3比为322，圆O的方程为x?y?4，曲线C与x轴的正半轴的交点为A，过原点O且异于坐标轴的直线2?6?,0?，?5?C两点，与曲线C交于B，直线AB与圆O的另一交点为P，直线PD与圆O的另一交点为Q，其中D??设直线AB，AC的斜率分别为k1,k2；
（1）求曲线C的方程，并证明S(x,y)到点M的距离d?[2?3,2?3]； （2）求k1k2的值；
（3）记直线PQ，BC的斜率分别为kPQ、kBC，是否存在常数?，使得kPQ??kBC？若存在，求?的值，若不存在，说明理由.
1x2y214．已知椭圆C:2?2?1(a>b>0)的左?右焦点分别为F1，F2，离心率为，A为椭圆C上一点，且AF2
2ab⊥F1F2，且|AF2|?3. 2（1）求椭圆C的方程；
（2）设椭圆C的左?右顶点为A1，A2，过A1，A2分别作x轴的垂线 l1，l2，椭圆C的一条切线l:y=kx+m(k≠
ruuuuruuuu0)与l1，l2交于M，N两点，试探究MF2?NF2是否为定值，并说明理由.
15．已知点M?3，0，P是圆N:(x?3)2?y2?16上的一个动点，N为圆心，线段PM的垂直平分线
?与直线PN的交点为Q． （1）求点Q的轨迹C的方程；
（2）设C与y轴的正半轴交于点D，直线l:y?kx?m与C交于A,B两点（l不经过D点），且AD?BD,证明：直线l经过定点，并写出该定点的坐标．
16．已知动点P到定直线l：x??4的距离比到定点F(2,0)的距离大2. （1）求动点P的轨迹C的方程；
（2）在x轴正半轴上，是否存在某个确定的点M，过该点的动直线l与曲线C交于A，B两点，使得
11?为定值.如果存在，求出点M坐标；如果不存在，请说明理由.
|AM|2|BM|2x2y2217．已知椭圆2?2?1（a?b?0）的焦距为2，离心率为，右顶点为A.
ab2（I）求该椭圆的方程；
（II）过点D(2,?2)作直线PQ交椭圆于两个不同点P、Q，求证：直线AP，AQ的斜率之和为定值.
uuuruuury?kx?218．已知抛物线 E:x?2py(p?0)，直线 与 E 交于 A，B 两点，且 OA?OB?2，其中
2O 为原点．
（1）求抛物线 E 的方程；
222（2）点 C 坐标为 (0,-2)，记直线 CA，CB 的斜率分别为 k1，k2，证明：k1?k2?2k 为定值．
19．已知
?1??x2y23,0为椭圆C：2?2?1（a＞b＞0）的一个焦点，且点?3,?在椭圆C上.
2??ab?（1）求椭圆C的方程；
（2）若点P（m，0）为椭圆C的长轴上一动点，过P且斜率为A|2+|PB|2为定值.
1的直线l交椭圆C于A，B两点，求证|P2x2y220．已知椭圆?：2?2?1(a?b?0)的左、右顶点分别为C、D，且过点(2,1)，P是椭圆上异于C、abD的任意一点，直线PC，PD的斜率之积为?（1）求椭圆?的方程；
（2）O为坐标原点，设直线CP交定直线x = m于点M，当m为何值时，OP?OM为定值． 21．已知抛物线C:x2?2py(p?0)经过点P(2,1)，过点Q(1,0)的直线l与抛物线C有两个不同的交点
1． 2uuuruuur
A,B，且直线PA交x轴于点M，直线PB交x轴于点N．
（1）求直线l的斜率的取值范围；
（2）设O为原点，QM??QO ， QN??QO，求证:
uuuruuuruuuruuur1??1?为定值．
x2y2222．已知椭圆2?2?1(a?b?0)的离心率e?，且椭圆过点(2,1).
2ab（1）求椭圆C的标准方程；
（2）设直线l与C交于M，点D在C上，若OM?ON?OD，判断四边形OMDNN两点，O是坐标原点，的面积是否为定值？若为定值，求出该定值；如果不是，请说明理由.
uuuuruuuruuurx2y2223．已知椭圆C:2?2?1(a?b?0)的上顶点为E，左焦点为F，离心率为，直线EF与圆
ab2x2?y2?1相切. 2
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）设过点F且斜率存在的直线l与椭圆C相交于A,B两点，线段A,B的垂直平分线交x轴于点P，试
判断
PF是否为定值？并说明理由. ABx224．如图，已知椭圆C1:?y2?1的左、右顶点为A1，A2，上、下顶点为B1，B2，记四边形A1B1A2B24的内切圆为C2.
（1）求圆C2的标准方程；
（2）已知圆C2的一条不与坐标轴平行的切线l交椭圆C1于P，M两点.
（i）求证：OP?OM； （ii）试探究
11?是否为定值. 22OPOM
x225．如图，已知椭圆O:点B,C分别是椭圆O的上、下顶点，点P是直线l:y??2?y2?1的右焦点为F，
4上的一个动点（与y轴交点除外），直线PC交椭圆于另一点M.
（1）当直线PM过椭圆的右焦点F时，求?FBM的面积； （2）记直线BM,BP的斜率分别为k1,k2，求证：k1?k2为定值.
26．已知点P是椭圆C上任一点，点P到直线l1：x??2的距离为d1，到点F??1,0?的距离为d2，且，且?OFA??OFB?180?. d1:d2?2，若直线l与椭圆C交于不同两点A、B（A、B都在x轴上方）
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）当A为椭圆与y轴正半轴的交点时，求直线l的方程；
（3）对于动直线l，是否存在一个定点，无论?OFA如何变化，直线l总经过此定点？若存在，求出定点的坐标，若不存在，请说明理由.
x2y227．已知椭圆?：2?2?1（a?b?0）的左右焦点分别为F1，F2，点T?2,3在椭圆?上，且
ab??TF1?TF2?8.
（1）求椭圆的方程；
（2）点P，Q在椭圆?上，O为坐标原点，且直线OP，OQ的斜率之积为值；
（3）直线l过点??1,0?且与椭圆?交于A，B两点，问在x轴上是否存在定点M，使得MA?MB为常数？若存在，求出点M坐标以及此常数的值；若不存在，请说明理由.
122，求证：OP?OQ为定4uuuruuurx2628．已知椭圆C:2?y2?1(a>1)的离心率为.
3a（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）设直线l过点M(1,0)且与椭圆C相交于A,B两点.过点A作直线x?3的垂线，垂足为D.证明直线
BD过x轴上的定点.
3x2y229．已知椭圆C:2?2?1(a?b?0)的右焦点为F?1,0?，且点P(1,)在椭圆C上．
2ab（1）求椭圆C的标准方程；
（2）当点P1(x,y)在椭圆C的图像上运动时，点Q??指出该曲线是什么图形；
?3x2y?,在曲线S上运动，求曲线S的轨迹方程，并??3??3x2y2C:??1（3）过椭圆1a2上异于其顶点的任意一点Q作曲线S的两条切线，切点分别为M,N(M,N52b?3不在坐标轴上），若直线MN在x轴，y轴上的截距分别为m,n,试问：该定值；若不是，请说明理由．
11?是否为定值？若是，求出3m2n2x2y230．给定椭圆C:2?2?1(a?b?0)，称圆心在原点O，半径为a2?b2的圆是椭圆Ｃ的“准圆”.若椭
ab
圆C的一个焦点为F(2,0)，其短轴上的一个端点到Ｆ的距离为3. （I）求椭圆Ｃ的方程和其“准圆”方程；
(II )点P是椭圆C的“准圆”上的一个动点，过点P作直线l1,l2，使得l1,l2与椭圆C都只有一个交点，且l1,l2分别交其“准圆”于点M，N.
（1）当P为“准圆”与y轴正半轴的交点时，求l1,l2的方程； （2）求证：|MN|为定值.
?3?31．已知椭圆T的中心在坐标原点，且经过点?1,?，它的一个焦点与抛物线E:y2?4x的焦点重合.
?2?（1）求椭圆T的方程；
（2）斜率为k的直线过点?1,0?，且与抛物线E交于A,B两点，设点P??1,k?，△PAB的面积为43，求k的值；
（3）若直线l过点M?0,m??m?0?，且与椭圆T交于C,D两点，点C关于y轴的对称点为Q，直线QD的纵截距为n，证明：mn为定值.
x2y22532．设O为坐标原点，椭圆C:2?2?1(a?b?0)的焦距为45，离心率为，直线
5abl:y?kx?m(m?0)与C 交于A，B两点．
（1）求椭圆C的方程；
（2）设点P(0,1)，PA?PB??4，求证：直线l过定点，并求出定点的坐标．
uuuruuur?3?x2y21,?33．椭圆E:2?2?1(a?b?0)的上顶点为A，点B?在椭圆E上，F1，F2分别为E的左右???2ab???焦点，?F1AF2?120.
（1）求椭圆E的方程；
（2）点M在圆x2?y2?b2上，且M在第一象限，过M作x2?y2?b2的切线交椭圆于C，D两点，且C，
F2，D不共线，问：?CF2D的周长是否为定值？若是求出定值；若不是说明理由.
x2y234．已知椭圆2?2?1(a?b?0)的左、右焦点分别为F2，F1,短轴两个端点为A,B,且四边形F1AF2B是
ab
边长为2的正方形． （Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）若C,D分别是椭圆长轴的左、右端点，动点M满足MD?CD，连接CM，交椭圆于点P．证明：
uuuuruuurOMgOP为定值．
35．已知椭圆
x2y2?2?1?a?b?0?的左、右焦点分别为2ab，
，点M?0,2?是椭圆的一个顶点，△
是等腰直角三角形．
（1）求椭圆（2）设点
的方程； 是椭圆
上一动点，求线段
，
的中点，
的轨迹方程；
两点，设两直线的斜率分别为
，
，
（3）过点M分别作直线
交椭圆于
且k1?k2?8，探究：直线AB是否过定点，并说明理由.
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