浙江大学城市学院2004-2005第二学期《线性代数》期终考试题
一．选择题：（每小题3分,共15分） （每一个小题后面有四个选项，其中只有一个选项是正确的，把正确的选项填写在后面的括号内）
1．已知4阶矩阵A,B的行列式A??1,?2,?3,?4?k,B??1,?2,?3,?5?m，则
矩阵A?2B的行列式A?2B是 ??????【 】. (A).k?2m, (B).9(k?2m) (C).8 (k?2m), (D).27(k?2m).
2．设A是m?n阶矩阵，b是m维列向量，x是n维列向量，线性方程组Ax?b对应的齐次线性方程组为Ax?0,命题
①.齐次线性方程组为Ax?0只有唯一零解,则线性方程组Ax?b只有唯一解， ②.齐次线性方程组为Ax?0有无穷多解,则线性方程组Ax?b有非零解， ③.线性方程组Ax?b只有唯一解, 则齐次线性方程组为Ax?0只有唯一零解 ④.线性方程组Ax?b有无穷多解，则齐次线性方程组为Ax?0有无穷多解
则上面命题中正确的个数是 ????【 】(A).1个， (B).2个， (C).3个， (D).4个.
23．A是n阶矩阵,且E?A?0,则下面结论中正确的是 ??????【 】.
(A).1是A的特征值, (B).?1是A的特征值,
(C).1和?1都是A的特征值, (D).1或者?1中至少有一个是A的特征值.
4．A是n阶矩阵，?是A的的特征值，?,?是A的属于特征值?的线性无关的特征向量，则下面向量中是A的属于特征值?的特征向量的是 ??????【 】. (A).k1?，（其中k1是任意数） (B).k2?，（其中k2是任意数）
(C).k1??k2?，（其中k1,k2是任意不全为零的数）
(D).k1??k2?，（其中k1,k2是任意数）.
225．二次型f(x1,x2)?2x1 ?x2?8x1x2，它的矩阵表示是 ???????【 】
?24??x1??2, (B).(x,x)???12??41??x2??0?2?21??x1?(x,x)(C).(x1,x2)?, (D).12???x?71?8???2?(A).(x1,x2)?8??x1???x?, 1??2?0??x1???x?. 1??2?
二．简答题：（每小题5分，共25分）（本题必须写出简要的步骤，否则不给分）
**1． 设A是4阶实矩阵，且A?8，求A，（其中A是A的伴随矩阵）.
?112?1???2． 设A是3阶矩阵，且A?23?25，决定参数a的值，使得矩阵A的秩最小. ????12?4a??
3． 设A是5?4矩阵，x是4维列向量，b是5维列向量，R(A)?2，向量?1,?2,?3是
线性方程组Ax?b的3个解，求线性方程组Ax?b的通解. （其中?1?(2,1,?1,4)T,?2?(1,?2,0,3)T,?3?(0,3,1,?1)T）.
4． 设?,?都是n维向量，且
??2,??3，求：??2????2?.
22
25．设A是3阶矩阵，A?E，且A?E,A??E，计算[R(A?E)?1]?[R(A?E)?1] （其中R(A)表示矩阵A的秩） 二．计算题：
1111?x111?x11．计算行列式. （本题10分）
11?y111?y111
2．已知矩阵A??
3．已知向量组
?22?，计算A2,A3,An. （本题12分） ??22??1?(1,?1,2,4),?2?(0,3,1,2),?3?(3,0,7,14),?4?(1,?1,2,0),?5?(2,1,5,0)， 求出向量组?1,?2,?3,?4的秩和最大无关组，并用此最大无关组来表示其余的向量.
（本题12分）
?522???4．设3阶实矩阵A?252, ????225??(1).求A的特征值， （2）分别求出A的属于各特征值的所有特征向量,
(3).求正交矩阵Q,使得Q?1AQ?QTAQ为对角矩阵,并写出此对角矩阵. （本题12分）
****5．3阶矩阵A得特征值为?1?2,?2??2,?3?3，A是A的伴随矩阵，?1*,?2是A的,?3特征值，求：
**（1）?1*,?2， ,?3A中元素a11,a22,a33的代数余子式）. （2）A（其中A11?A22?A33，11,A22,A33分别是矩阵
（本题8分）
四．证明题：（本题6分）
1．设A是n阶实反对称矩阵（A??A），x是n维列向量，如果存在n维列向量y，使得Ax?y，求证：x与y正交.
22．设A是n阶矩阵，?是n维列向量，且A??0，而A??0，求证?,A?线性无关.
T
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