∴BD2＝BM?BE， ∴BM＝
＝
＝
．
【点评】本题考查了切线的判定和性质，圆周角定理，直角三角形的性质，勾股定理，切割线定理，正确的识别图形是解题的关键．
24．（12分）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝ax2﹣2x+c与直线y＝kx+b都经过A（0，﹣3）、B（3，0）两点，该抛物线的顶点为C． （1）求此抛物线和直线AB的解析式；
（2）设直线AB与该抛物线的对称轴交于点E，在射线EB上是否存在一点M，过M作x轴的垂线交抛物线于点N，使点M、N、C、E是平行四边形的四个顶点？若存在，求点M的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）设点P是直线AB下方抛物线上的一动点，当△PAB面积最大时，求点P的坐标，并求△PAB面积的最大值．
【考点】HF：二次函数综合题．
【分析】（1）将A（0，﹣3）、B（3，0）两点坐标分别代入二次函数的解析式和一次函数解析式即可求解；
（2）先求出C点坐标和E点坐标，则CE＝2，分两种情况讨论：①若点M在x轴下方，四边形CEMN为平行四边形，则CE＝MN，②若点M在x轴上方，四边形CENM为平行四边形，则CE＝MN，设M（a，a﹣3），则N（a，a2﹣2a﹣3），可分别得到方程求出点M的坐标；
（3）如图，作PG∥y轴交直线AB于点G，设P（m，m2﹣2m﹣3），则G（m，m﹣3），可由
，得到m的表达式，利用二次函数求最值问题配方即可．
【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2﹣2x+c经过A（0，﹣3）、B（3，0）两点，
∴∴
，
，
∴抛物线的解析式为y＝x2﹣2x﹣3，
∵直线y＝kx+b经过A（0，﹣3）、B（3，0）两点， ∴
，解得：
，
∴直线AB的解析式为y＝x﹣3， （2）∵y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4， ∴抛物线的顶点C的坐标为（1，﹣4）， ∵CE∥y轴， ∴E（1，﹣2）， ∴CE＝2，
①如图，若点M在x轴下方，四边形CEMN为平行四边形，则CE＝MN， 设M（a，a﹣3），则N（a，a2﹣2a﹣3），
∴MN＝a﹣3﹣（a2﹣2a﹣3）＝﹣a2+3a，∴﹣a2+3a＝2，
解得：a＝2，a＝1（舍去）， ∴M（2，﹣1），
②如图，若点M在x轴上方，四边形CENM为平行四边形，则CE＝MN，
设M（a，a﹣3），则N（a，a2﹣2a﹣3）， ∴MN＝a2﹣2a﹣3﹣（a﹣3）＝a2﹣3a， ∴a2﹣3a＝2， 解得：a＝∴M（
，
，a＝
），
）．
（舍去），
综合可得M点的坐标为（2，﹣1）或（（3）如图，作PG∥y轴交直线AB于点G，
设P（m，m2﹣2m﹣3），则G（m，m﹣3），∴PG＝m﹣3﹣（m2﹣2m﹣3）＝﹣m2+3m， ∴S
△
PAB
＝S
△
PGA+S
△
PGB
＝＝＝﹣
，
∴当m＝时，△PAB面积的最大值是
，此时P点坐标为（
）．
【点评】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法求函数解析式，二次函数求最值问题，以及二次函数与平行四边形、三角形面积有关的问题．
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